データの分析の問題

誤ったデータの値を $x_1,x_2,\dots ,x_{20}$ とし、$x_1=42$、$x_2=58$ とする。

平均値の変化

誤ったデータの合計は $20\times 50=1000$ である。修正すると、合計は
$$1000-42+52-58+48=1000$$
となり変わらない。したがって、正しいデータの平均値も $50$ である。

偏差の 2 乗の和の変化

分散は偏差の 2 乗の平均値なので、誤ったデータについて
$$\sum _{k=1}^{20}(x_k-50{)}^2=20\times 16=320$$
である。

平均値が $50$ のまま変わらないので、偏差は修正した 2 つの値の分だけ変わる。
- 修正前: $42-50=-8$、$58-50=8$ であり、偏差の 2 乗の和は $64+64=128$
- 修正後: $52-50=2$、$48-50=-2$ であり、偏差の 2 乗の和は $4+4=8$

よって、正しいデータの偏差の 2 乗の和は
$$320-128+8=200$$
である。

分散と標準偏差

正しいデータの分散は $\frac{200}{20}=10$ である。したがって標準偏差は $\sqrt{10}$ である。

(別解) 2 乗の平均値を使って確かめる。誤ったデータでは $\overline{x^2}=16+50^2=2516$ なので、2 乗の和は $20\times 2516=50320$ である。修正による 2 乗の和の変化は
$$(52^2-42^2)+(48^2-58^2)=940-1060=-120$$
であるから、正しいデータの 2 乗の和は $50200$ となる。よって分散は
$$\frac{50200}{20}-50^2=2510-2500=10$$
となり、同じ結果が得られる。

答え: $\sqrt{10}$

元のデータを $x_1,\dots ,x_{20}$ とする。平均が $50$ なので、総和は $20\times 50=1000$ である。分散が $16$ なので、$\frac{1}{20}\sum x_i^2-50^2=16$ より $\sum x_i^2=20\times 2516=50320$ である。

訂正による総和の変化は、$42\to 52$ で $+10$、$58\to 48$ で $-10$ なので $0$ である。よって総和は $1000$ のままで、平均値は $50$ のままである。

2乗和の変化は、$(52^2+48^2)-(42^2+58^2)=(2704+2304)-(1764+3364)=5008-5128=-120$ である。よって正しい2乗和は $50320-120=50200$ である。

正しい分散は $\frac{50200}{20}-50^2=2510-2500=10$ である。標準偏差は分散の正の平方根なので $\sqrt{10}$ である。

検算：誤りのある2値の平均からの偏差の2乗和は、訂正前が $(-8{)}^2+8^2=128$、訂正後が $2^2+(-2{)}^2=8$ で、差は $-120$ となり上の結果と一致する。したがって分散は $16-\frac{120}{20}=10$ である。