数理統計の問題

4 組のデータ
$$(x_i,y_i)=(0,1),(1,3),(2,4),(3,8)(i=1,2,3,4)$$
がある。残差平方和
$$Q(a,b)=\sum _{i=1}^4\{y_i-(a+b{x}_i){\}}^2$$
を最小にする実数 $a,b$ を用いた直線 $y=a+bx$ を、$y$ の $x$ への回帰直線とする。この回帰直線による決定係数
$$R^2=1-\frac{\sum _{i=1}^4\{y_i-(a+b{x}_i){\}}^2}{\sum _{i=1}^4(y_i-\bar{y}{)}^2}$$
の値を求めよ。ただし $\bar{y}$ は $y_1,\dots ,y_4$ の平均値である。

4 組のデータ
$$(x_i,y_i)=(1,3),(2,4),(3,8),(4,9)(i=1,2,3,4)$$
がある。$y$ の $x$ への回帰直線を $y=a+bx$ とする。ここで $a,b$ は、残差平方和
$$S(a,b)=\sum _{i=1}^4(y_i-a-b{x}_i{)}^2$$
を最小にする実数である。また、決定係数 $R^2$ を
$$R^2=1-\frac{\sum _{i=1}^4(y_i-a-b{x}_i{)}^2}{\sum _{i=1}^4(y_i-\bar{y}{)}^2}$$
で定める（$\bar{y}$ は $y_1,\dots ,y_4$ の平均値）。$a,b,R^2$ をこの順に組 $(a,b,R^2)$ で求めよ。

ある植物を 5 鉢育て、与えた肥料の量 $x$（単位 g）と 1 か月後の草丈の伸び $y$（単位 cm）を測ったところ、次の 5 組のデータ $(x_i,y_i)$ $(i=1,2,\dots ,5)$ が得られた。
$$(1,2),(2,3),(3,5),(4,4),(5,6)$$
このデータに単回帰モデル $y=a+bx$ を当てはめ、$a$, $b$ を最小二乗法で推定する。推定した回帰直線 $\hat{y}=\hat{a}+\hat{b}x$ について、決定係数
$$R^2=1-\frac{\sum _{i=1}^5(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{\sum _{i=1}^5(y_i-\bar{y}{)}^2}$$
の値を求めよ。ただし ${\hat{y}}_i=\hat{a}+\hat{b}{x}_i$、$\bar{y}$ は $y_1,\dots ,y_5$ の平均である。

$n$ を 3 以上の整数とし、$n$ 組のデータ $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_n,y_n)$ が与えられている。$x_1,\dots ,x_n$ はすべてが等しくはなく、$y_1,\dots ,y_n$ もすべてが等しくはないとする。

このデータに対して、最小二乗法で次の 2 つの回帰直線を求めた。
- $y$ を $x$ に回帰した直線 $y=a+bx$（$\sum _{i=1}^n(y_i-a-b{x}_i{)}^2$ を最小にする $a,b$）の傾きは $\hat{b}=\frac{6}{5}$ であった。
- $x$ を $y$ に回帰した直線 $x=c+dy$（$\sum _{i=1}^n(x_i-c-d{y}_i{)}^2$ を最小にする $c,d$）の傾きは $\hat{d}=\frac{1}{2}$ であった。

$y$ を $x$ に回帰した直線 $y=\hat{a}+\hat{b}x$ の決定係数
$$R^2=1-\frac{\sum _{i=1}^n{\left(y_i-\hat{a}-\hat{b}{x}_i\right)}^2}{\sum _{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}$$
を求めよ。ただし $\bar{y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i$ である。

10 組のデータ $(x_{1i},x_{2i},y_i)$ $(i=1,2,\dots ,10)$ について、次の値が得られている。
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}=30,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}=20,\sum _{i=1}^{10}{y}_i=50,$$
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}^2=100,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}^2=45,\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}{x}_{2i}=64,$$
$$\sum _{i=1}^{10}{x}_{1i}{y}_i=166,\sum _{i=1}^{10}{x}_{2i}{y}_i=103,\sum _{i=1}^{10}{y}_i^2=290.$$
このデータに重回帰モデル $y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2$ を最小二乗法で当てはめ、推定値 ${\hat{\beta }}_0,{\hat{\beta }}_1,{\hat{\beta }}_2$ を求める。${\hat{y}}_i={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_1{x}_{1i}+{\hat{\beta }}_2{x}_{2i}$、$\bar{y}=\frac{1}{10}{\sum }_{i=1}^{10}{y}_i$ とおくとき、決定係数
$$R^2=1-\frac{{\sum }_{i=1}^{10}(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{{\sum }_{i=1}^{10}(y_i-\bar{y}{)}^2}$$
の値を求めよ。