非平衡統計力学の問題

温度 $T$ の熱浴中で1次元を運動する過減衰ブラウン粒子を考える。粒子の位置 $x(t)$ は次のランジュバン方程式に従う。
$$\gamma \frac{dx}{dt}=-\frac{\partial U}{\partial x}(x,\lambda (t))+\xi (t),⟨\xi (t)⟩=0,⟨\xi (t)\xi (s)⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-s)$$
ここで $\gamma >0$ は摩擦係数、$k_B$ はボルツマン定数、$\xi (t)$ はガウス白色雑音であり、ポテンシャルは調和型
$$U(x,\lambda )=\frac{k}{2}(x-\lambda {)}^2(k>0)$$
である。$t<0$ では $\lambda =0$ に保たれ、粒子は時刻 $t=0$ でこのポテンシャル中の熱平衡状態（カノニカル分布）にあるとする。$0\le t\le \tau$ $(\tau >0)$ の間、ポテンシャルの中心を一定の速さ $v$ で動かし $\lambda (t)=vt$ とする。この操作で外部が粒子にする仕事を
$$W={\int }_0^{\tau }\frac{\partial U}{\partial \lambda }(x(t),\lambda (t))\dot{\lambda }(t)dt$$
と定義する。多数回の試行にわたる $W$ の分布の分散 $⟨W^2⟩-⟨W{⟩}^2$ を、$k_B,T,\gamma ,k,v,\tau$ を用いて求めよ。

温度 $T$ の熱浴中で、ばね定数 $k$ の調和ポテンシャル $U(x)=\frac{1}{2}k{x}^2$ に捕らえられた粒子の 1 次元の運動を、過減衰のランジュバン方程式
$$\gamma \frac{dx}{dt}=-kx+\xi (t),⟨\xi (t)⟩=0,⟨\xi (t)\xi (s)⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-s)$$
でモデル化する（$\gamma >0$ は抵抗係数、$k_B$ はボルツマン定数）。時刻 $t=0$ で粒子は確実に $x=0$ にあったとする。時刻 $t>0$ での位置の分散 $⟨x(t{)}^2⟩-⟨x(t){⟩}^2$ を、$k_B$, $T$, $k$, $\gamma$, $t$ を用いて表せ。

2 次元平面上の粒子（座標 $(x,y)$）が、次の過減衰ランジュバン方程式に従って運動する。
$$\eta \frac{dx}{dt}=-\frac{\partial U}{\partial x}+{\xi }_x(t),\eta \frac{dy}{dt}=-\frac{\partial U}{\partial y}+{\xi }_y(t)$$
ここで $\eta >0$ は摩擦係数（$x,y$ 方向で共通）であり、${\xi }_i(t)$ は平均 $0$ のガウス白色雑音で
$$⟨{\xi }_i(t){\xi }_j(t^{\prime })⟩=2\eta k_{B}T{\delta }_{ij}\delta (t-t^{\prime })$$
を満たす（$k_B$ はボルツマン定数、$T$ は温度）。ポテンシャルは
$$U(x,y)=\frac{U_0}{b^4}{\left(x^2-b^2\right)}^2+\frac{\kappa }{2}{\left(y-sx\right)}^2$$
で与えられる。ただし $U_0>0$, $b>0$, $\kappa >0$ は定数、$s$ は無次元の実数の定数である。このポテンシャルは $(x,y)=(\pm b,\pm sb)$（複号同順）に 2 つの極小をもち、原点が両者を結ぶ鞍点である。

$x<0$ 側の極小のまわりで熱平衡に達した粒子が、鞍点を越えて $x>0$ 側の極小へ移る遷移率（単位時間あたりの片道の遷移確率）$k$ を考える。障壁が十分高い極限 $k_{B}T\ll U_0$（あわせて $k_{B}T$ は極小・鞍点まわりのポテンシャルの 2 次近似が十分よい程度に小さい）で、$k$ の主要項を $U_0,b,\kappa ,s,\eta ,k_B,T$ を用いて求めよ。

容器の底 $x=0$ の上（$x\ge 0$、$x$ は鉛直上向きの高さ）で沈降するコロイド粒子の運動を、過減衰のランジュバン方程式
$$\gamma \frac{dx}{dt}=-U^{\prime }(x)+\xi (t),U(x)=Fx(F>0),⟨\xi (t)\xi (s)⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-s)$$
でモデル化する。ここで $F$ は浮力を差し引いた有効重力の大きさ、$\gamma >0$ は抵抗係数、$T$ は温度、$k_B$ はボルツマン定数である。粒子の位置の確率密度 $p(x,t)$ はフォッカー・プランク方程式
$$\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{U^{\prime }(x)}{\gamma }p+D\frac{\partial p}{\partial x}\right],D=\frac{k_{B}T}{\gamma }$$
にしたがい、底 $x=0$ は反射壁（確率流が $0$）である。定常状態での粒子の高さの平均 $⟨x⟩$ を、$k_B$, $T$, $F$ を用いて表せ。

1 次元のポテンシャル
$$U(x)=\frac{a}{2}{x}^2-\frac{b}{3}{x}^3(a>0,b>0\text{は定数})$$
の中で、温度 $T$ の熱浴に接した粒子が過減衰ランジュバン方程式
$$\gamma \dot{x}=-U^{\prime }(x)+\xi (t),⟨\xi (t)\xi (s)⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-s)$$
に従って運動している（$\gamma >0$ は摩擦係数、$k_B$ はボルツマン定数）。粒子ははじめ極小点 $x=0$ の近くの井戸の中にある。

障壁の高さ $\Delta U$ が $k_{B}T$ に比べて十分大きい（$\Delta U\gg k_{B}T$）として、粒子が極大点を越えて井戸から脱出する率（単位時間あたりの脱出確率）$k$ を、過減衰のクラマースの公式
$$k=\frac{\sqrt{U^{\prime \prime }(x_a)|U^{\prime \prime }(x_b)|}}{2\pi \gamma }{e}^{-\Delta U/k_{B}T}$$
（$x_a$ は極小点、$x_b$ は障壁の頂上、$\Delta U=U(x_b)-U(x_a)$）を用いて、$a$, $b$, $\gamma$, $k_B$, $T$ で表せ。