非平衡統計力学の問題

温度 $T=300\mathrm{K}$ の水中にある質量 $m=4.0\times 10^{-15}\mathrm{kg}$ のコロイド粒子の、$x$ 方向の 1 次元の運動を、ランジュバン方程式
$$m\frac{dv}{dt}=-\gamma v+\xi (t),⟨\xi (t)⟩=0,⟨\xi (t)\xi (t^{\prime })⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-t^{\prime })$$
でモデル化する（$v=dx/dt$）。抵抗係数は $\gamma =2.07\times 10^{-8}kg/s$、ボルツマン定数は $k_B=1.38\times 10^{-23}J/K$ とする。粒子ははじめから熱平衡の速度分布にあるとする。

時刻 $0$ から $t=10\mathrm{s}$ の間の変位 $\Delta x=x(t)-x(0)$ の平均二乗変位 $⟨(\Delta x{)}^2⟩$ は何 $\mu {\mathrm{m}}^2$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

容器の底 $x=0$ の上（$x\ge 0$、$x$ は鉛直上向きの高さ）で沈降するコロイド粒子の運動を、過減衰のランジュバン方程式
$$\gamma \frac{dx}{dt}=-U^{\prime }(x)+\xi (t),U(x)=Fx(F>0),⟨\xi (t)\xi (s)⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-s)$$
でモデル化する。ここで $F$ は浮力を差し引いた有効重力の大きさ、$\gamma >0$ は抵抗係数、$T$ は温度、$k_B$ はボルツマン定数である。粒子の位置の確率密度 $p(x,t)$ はフォッカー・プランク方程式
$$\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{U^{\prime }(x)}{\gamma }p+D\frac{\partial p}{\partial x}\right],D=\frac{k_{B}T}{\gamma }$$
にしたがい、底 $x=0$ は反射壁（確率流が $0$）である。定常状態での粒子の高さの平均 $⟨x⟩$ を、$k_B$, $T$, $F$ を用いて表せ。

1 次元のポテンシャル
$$U(x)=\frac{a}{2}{x}^2-\frac{b}{3}{x}^3(a>0,b>0\text{は定数})$$
の中で、温度 $T$ の熱浴に接した粒子が過減衰ランジュバン方程式
$$\gamma \dot{x}=-U^{\prime }(x)+\xi (t),⟨\xi (t)\xi (s)⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-s)$$
に従って運動している（$\gamma >0$ は摩擦係数、$k_B$ はボルツマン定数）。粒子ははじめ極小点 $x=0$ の近くの井戸の中にある。

障壁の高さ $\Delta U$ が $k_{B}T$ に比べて十分大きい（$\Delta U\gg k_{B}T$）として、粒子が極大点を越えて井戸から脱出する率（単位時間あたりの脱出確率）$k$ を、過減衰のクラマースの公式
$$k=\frac{\sqrt{U^{\prime \prime }(x_a)|U^{\prime \prime }(x_b)|}}{2\pi \gamma }{e}^{-\Delta U/k_{B}T}$$
（$x_a$ は極小点、$x_b$ は障壁の頂上、$\Delta U=U(x_b)-U(x_a)$）を用いて、$a$, $b$, $\gamma$, $k_B$, $T$ で表せ。

温度 $T$ の熱浴中で、直線上を運動する過減衰ブラウン粒子の位置 $x$ が、ランジュバン方程式
$$\gamma \frac{dx}{dt}=-U^{\prime }(x)+\xi (t),⟨\xi (t)⟩=0,⟨\xi (t)\xi (t^{\prime })⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-t^{\prime })$$
に従うとする。ここで $\gamma >0$ は摩擦係数、$\xi (t)$ はガウス白色雑音、ポテンシャルは $U(x)=f|x|$（$f>0$ は定数）であり、拡散係数を $D=k_{B}T/\gamma$ とする。

まず、$x=\pm L$（$L>0$）に反射壁を置いたところ、確率密度は時間がたつと定常分布 $p_s(x)$ に収束し、
$$\frac{p_s(0)}{p_s(L)}=e^3$$
であった。

次に、同じ $f,T,\gamma$ のもとで $x=\pm L$ の壁を吸収壁に替え、粒子を時刻 $0$ に $x_0=L/3$ に置く。粒子が初めて $|x|=L$ に到達するまでの平均時間（平均初到達時間）を、$L$ と $D$ を用いて表せ。

温度 $T$ の熱浴中で1次元を運動する過減衰ブラウン粒子を考える。粒子の位置 $x(t)$ は次のランジュバン方程式に従う。
$$\gamma \frac{dx}{dt}=-\frac{\partial U}{\partial x}(x,\lambda (t))+\xi (t),⟨\xi (t)⟩=0,⟨\xi (t)\xi (s)⟩=2\gamma k_{B}T\delta (t-s)$$
ここで $\gamma >0$ は摩擦係数、$k_B$ はボルツマン定数、$\xi (t)$ はガウス白色雑音であり、ポテンシャルは調和型
$$U(x,\lambda )=\frac{k}{2}(x-\lambda {)}^2(k>0)$$
である。$t<0$ では $\lambda =0$ に保たれ、粒子は時刻 $t=0$ でこのポテンシャル中の熱平衡状態（カノニカル分布）にあるとする。$0\le t\le \tau$ $(\tau >0)$ の間、ポテンシャルの中心を一定の速さ $v$ で動かし $\lambda (t)=vt$ とする。この操作で外部が粒子にする仕事を
$$W={\int }_0^{\tau }\frac{\partial U}{\partial \lambda }(x(t),\lambda (t))\dot{\lambda }(t)dt$$
と定義する。多数回の試行にわたる $W$ の分布の分散 $⟨W^2⟩-⟨W{⟩}^2$ を、$k_B,T,\gamma ,k,v,\tau$ を用いて求めよ。