調和ポテンシャル中の過減衰ブラウン運動

$γ x ˙ = - k (x - λ (t)) + ξ$ の解をガウス過程として扱い、位置の平均・分散・時間相関 $⟨ x (t) x (s)⟩$ を求め、ポテンシャルを動かす場合の応答も計算できる

前提

ランジュバン方程式と平均二乗変位（大学院物理非平衡統計力学）

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算数中学高校大学大学院

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多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
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三角形・四角形の面積（算数平面図形）
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素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
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重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
ガウス積分（大学数学微分積分）
正規分布の密度と積率（大学数学確率・統計）
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中心極限定理（特性関数による）（大学院数学確率論）
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マルチンゲール（大学院数学確率論）
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変数分離形（大学数学微分方程式）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
確率微分方程式（幾何ブラウン運動・OU 過程）（大学院数学確率解析）
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三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
抵抗力を含む運動方程式の解（大学物理力学（質点・剛体））
ランジュバン方程式と平均二乗変位（大学院物理非平衡統計力学）

説明

光ピンセットで捕まえたコロイド粒子のように、ばね定数 $k$ の調和ポテンシャルに閉じ込められ、水の中で強い抵抗を受ける粒子は、慣性を無視した過減衰のランジュバン方程式 $γ x ˙ = - k (x - λ (t)) + ξ (t)$ に従います。ここで $λ (t)$ はポテンシャルの中心で、外から動かすことができます。この方程式は線形なので解を積分の形で書け、解はガウス過程（どの時刻の組についても同時分布が正規分布になる確率過程）になるので、平均と共分散を求めればすべての統計がわかります。この技能では、位置の平均・分散・時間相関 $⟨ x (t) x (s)⟩$ を求め、ポテンシャルの中心を動かしたときに粒子がどれだけ遅れてついてくるかといった応答を計算します。

なぜそうしてよいのか

雑音は $⟨ ξ (t)⟩ = 0$ 、 $⟨ ξ (t) ξ (t^{'})⟩ = 2 γ k_{B} T δ (t - t^{'})$ とします（慣性のある場合と同じ強さで、これにより平衡で温度 $T$ のボルツマン分布になります）。両辺を $γ$ で割り、緩和時間 $τ = γ / k$ を使うと $x ˙ = - \frac{x}{τ} + \frac{λ ( t )}{τ} + \frac{ξ ( t )}{γ}$ で、これは 1 階線形微分方程式です。 $e^{t / τ}$ を掛けて積分すると
$x (t) = x_{0} e^{- t / τ} + \frac{1}{τ} \int_{0}^{t} e^{- (t - s) / τ} λ (s) d s + \frac{1}{γ} \int_{0}^{t} e^{- (t - s) / τ} ξ (s) d s$
となります。第 1 項は初期値の記憶が $τ$ で消えること、第 2 項は動くポテンシャルの中心を「指数関数の重みで過去にさかのぼって平均した位置」を追いかけること、第 3 項は熱ゆらぎを表します。

雑音はガウス的で、 $x (t)$ はそれの線形な積分（と、正規分布またはきまった値の初期値）の和なので、ガウス過程です。したがって平均と共分散を求めれば十分です。平均は雑音の項が消えて $⟨ x (t)⟩ = ⟨ x_{0} ⟩ e^{- t / τ} + \frac{1}{τ} \int_{0}^{t} e^{- (t - s) / τ} λ (s) d s$ で、ポテンシャルの動かし方 $λ (t)$ は平均だけに効きます。ゆらぎ $δ x = x - ⟨ x ⟩$ の共分散は、 $δ$ 相関（伊藤の等長性）で 2 重積分が 1 重になり、 $t \geq s$ として
$⟨ δ x (t) δ x (s)⟩_{雑音} = \frac{2 γ k _{B} T}{γ ^{2}} \int_{0}^{s} e^{- (t - u) / τ} e^{- (s - u) / τ} d u = \frac{k _{B} T}{k} (e^{- (t - s) / τ} - e^{- (t + s) / τ})$
です。 $t = s \to \infty$ で分散は $\frac{k _{B} T}{k}$ に近づき、これは $\frac{1}{2} k ⟨ δ x^{2} ⟩ = \frac{1}{2} k_{B} T$ という等分配と一致します。

初めから平衡にある（ $x_{0}$ が平均 $λ (0)$ 、分散 $\frac{k _{B} T}{k}$ の正規分布で雑音と独立）なら、初期値の寄与 $\frac{k _{B} T}{k} e^{- (t + s) / τ}$ が上の第 2 項を打ち消して、共分散は時間差だけで決まる $⟨ δ x (t) δ x (s)⟩ = \frac{k _{B} T}{k} e^{- ∣ t - s ∣/ τ}$ になります。ポテンシャルを動かしても、ゆらぎの部分は $λ$ によらないので共分散は変わらず、分布は形を保ったまま平均だけがずれていきます。

手順

方程式を $x ˙ = - \frac{x - λ ( t )}{τ} + \frac{ξ}{γ}$ （ $τ = γ / k$ ）と書き、1 階線形として解く： $x (t) = x_{0} e^{- t / τ} + \frac{1}{τ} \int_{0}^{t} e^{- (t - s) / τ} λ (s) d s + \frac{1}{γ} \int_{0}^{t} e^{- (t - s) / τ} ξ (s) d s$
平均をとる：雑音の項は 0 なので $⟨ x (t)⟩ = ⟨ x_{0} ⟩ e^{- t / τ} + \frac{1}{τ} \int_{0}^{t} e^{- (t - s) / τ} λ (s) d s$ 。与えられた $λ (s)$ を代入して積分する
共分散を $⟨ ξ (u) ξ (u^{'})⟩ = 2 γ k_{B} T δ (u - u^{'})$ で計算する： $x_{0}$ が決まった値なら $\frac{k _{B} T}{k} (e^{- ∣ t - s ∣/ τ} - e^{- (t + s) / τ})$ 、初めから平衡なら $\frac{k _{B} T}{k} e^{- ∣ t - s ∣/ τ}$
必要なら $⟨ x (t) x (s)⟩ = ⟨ δ x (t) δ x (s)⟩ + ⟨ x (t)⟩ ⟨ x (s)⟩$ で相関を組み立てる
長時間の極限や $t ≪ τ$ の展開をとり、遅れ・分散・相関時間 $τ = γ / k$ などを読み取る

例題

粒子の位置 $x (t)$ が過減衰のランジュバン方程式 $γ x ˙ = - k (x - λ (t)) + ξ (t)$ （ $γ > 0$ 、 $k > 0$ 、 $⟨ ξ (t)⟩ = 0$ 、 $⟨ ξ (t) ξ (t^{'})⟩ = 2 γ k_{B} T δ (t - t^{'})$ ）に従う。 $t < 0$ ではポテンシャルの中心は $λ = 0$ に止まっていて粒子は温度 $T$ の熱平衡にあり、 $t \geq 0$ では中心を一定の速さ $u$ で $λ (t) = u t$ と動かす。時刻 $t (\geq 0)$ での位置の平均 $⟨ x (t)⟩$ を $u, t, γ, k$ で表せ。

例題の解答

手順 1： $τ = γ / k$ とおくと
$x (t) = x_{0} e^{- t / τ} + \frac{1}{τ} \int_{0}^{t} e^{- (t - s) / τ} u s d s + \frac{1}{γ} \int_{0}^{t} e^{- (t - s) / τ} ξ (s) d s .$

手順 2： $t = 0$ で中心 $0$ のまわりの熱平衡なので $⟨ x_{0} ⟩ = 0$ 。雑音の項の平均は 0。残る積分は $w = t - s$ とおいて
$\int_{0}^{t} e^{- (t - s) / τ} s d s = \int_{0}^{t} e^{- w / τ} (t - w) d w = t τ (1 - e^{- t / τ}) - [τ^{2} - τ (t + τ) e^{- t / τ}] = t τ - τ^{2} + τ^{2} e^{- t / τ}$
（ $\int_{0}^{t} w e^{- w / τ} d w$ は部分積分）。よって
$⟨ x (t)⟩ = \frac{u}{τ} (t τ - τ^{2} + τ^{2} e^{- t / τ}) = u [t - τ (1 - e^{- t / τ})] = u [t - \frac{γ}{k} (1 - e^{- k t / γ})] .$

手順 5： $t ≫ τ$ では $⟨ x (t)⟩ \approx u (t - τ)$ となり、粒子は中心より $λ (t) - ⟨ x (t)⟩ \to uτ = \frac{γ u}{k}$ だけ遅れてついていく（抵抗力 $γ u$ とばねの力 $k \times$ 遅れがつり合う）。分散は中心を動かしても $\frac{k _{B} T}{k}$ のまま。

答え: $u [t - \frac{γ}{k} (1 - e^{- k t / γ})]$

よくある誤り

粒子がポテンシャルの中心にそのまま乗って動くとして $⟨ x (t)⟩ = λ (t) = u t$ としてしまう誤り。粒子は抵抗のため遅れ、正しくは $⟨ x (t)⟩ = \frac{1}{τ} \int_{0}^{t} e^{- (t - s) / τ} λ (s) d s$ で、等速なら $u [t - τ (1 - e^{- t / τ})]$ 、長時間で遅れ $\frac{γ u}{k}$ が残る。
平衡での分散を自由拡散と混同して $⟨ δ x^{2} ⟩ = 2 D t = \frac{2 k _{B} T}{γ} t$ のように時間とともに増えるとしてしまう誤り。ポテンシャルに閉じ込められているので $⟨ δ x (t)^{2} ⟩ = \frac{k _{B} T}{k} (1 - e^{- 2 t / τ}) \to \frac{k _{B} T}{k}$ と有限値に飽和する（ $2 D t$ になるのは $t ≪ τ$ のときだけ）。
初期値を決まった値 $x_{0}$ にした場合にも共分散を $\frac{k _{B} T}{k} e^{- ∣ t - s ∣/ τ}$ としてしまう誤り。時間差だけで決まるのは初めから平衡のときで、 $x_{0}$ が決まった値なら $\frac{k _{B} T}{k} (e^{- ∣ t - s ∣/ τ} - e^{- (t + s) / τ})$ 。
相関 $⟨ x (t) x (s)⟩$ と共分散 $⟨ δ x (t) δ x (s)⟩$ を同じとしてしまう誤り。ポテンシャルを動かして平均が 0 でないときは $⟨ x (t) x (s)⟩ = \frac{k _{B} T}{k} e^{- ∣ t - s ∣/ τ} + ⟨ x (t)⟩ ⟨ x (s)⟩$ と平均の積が加わる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
温度 $T$ の熱浴中で、ばね定数 $k$ の調和ポテンシャル $U (x) = \frac{1}{2} k x^{2}$ に捕らえられた粒子の 1 次元の運動を、過減衰のランジュバン方程式
$γ \frac{d x}{d t} = - k x + ξ (t), ⟨ ξ (t)⟩ = 0, ⟨ ξ (t) ξ (s)⟩ = 2 γ k_{B} T δ (t - s)$
でモデル化する（ $γ > 0$ は抵抗係数、 $k_{B}$ はボルツマン定数）。時刻 $t = 0$ で粒子は確実に $x = 0$ にあったとする。時刻 $t > 0$ での位置の分散 $⟨ x (t)^{2} ⟩ - ⟨ x (t) ⟩^{2}$ を、 $k_{B}$ , $T$ , $k$ , $γ$ , $t$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
温度 $T$ の熱浴中で1次元を運動する過減衰ブラウン粒子を考える。粒子の位置 $x (t)$ は次のランジュバン方程式に従う。
$γ \frac{d x}{d t} = - \frac{\partial U}{\partial x} (x, λ (t)) + ξ (t), ⟨ ξ (t)⟩ = 0, ⟨ ξ (t) ξ (s)⟩ = 2 γ k_{B} T δ (t - s)$
ここで $γ > 0$ は摩擦係数、 $k_{B}$ はボルツマン定数、 $ξ (t)$ はガウス白色雑音であり、ポテンシャルは調和型
$U (x, λ) = \frac{k}{2} (x - λ)^{2} (k > 0)$
である。 $t < 0$ では $λ = 0$ に保たれ、粒子は時刻 $t = 0$ でこのポテンシャル中の熱平衡状態（カノニカル分布）にあるとする。 $0 \leq t \leq τ$ $(τ > 0)$ の間、ポテンシャルの中心を一定の速さ $v$ で動かし $λ (t) = v t$ とする。この操作で外部が粒子にする仕事を
$W = \int_{0}^{τ} \frac{\partial U}{\partial λ} (x (t), λ (t)) λ ˙ (t) d t$
と定義する。多数回の試行にわたる $W$ の分布の分散 $⟨ W^{2} ⟩ - ⟨ W ⟩^{2}$ を、 $k_{B}, T, γ, k, v, τ$ を用いて求めよ。

この技能の次に学べること

確率的な仕事とジャルジンスキー等式（大学院物理非平衡統計力学）