基数の演算

0 以上の整数 $n$ に対して、基数 ${\beth }_n$ を次のように定める。
$${\beth }_0={\aleph }_0,{\beth }_{n+1}=2^{{\beth }_n}(n=0,1,2,\dots )$$
たとえば ${\beth }_1=2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$（実数全体の集合 $\mathbb{R}$ の濃度）である。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への写像全体の集合を ${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$ とする。${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$ の濃度が ${\beth }_n$ に等しくなるような 0 以上の整数 $n$ を求めよ。

$\mathbb{R}$ を実数全体の集合、${\aleph }_0$ を正の整数全体の集合の濃度とする。基数の列 ${\kappa }_0,{\kappa }_1,{\kappa }_2,\dots$ を
$${\kappa }_0={\aleph }_0,{\kappa }_{n+1}=2^{{\kappa }_n}(n=0,1,2,\dots )$$
で定める。カントールの定理により ${\kappa }_0<{\kappa }_1<{\kappa }_2<\cdots$ である。

写像 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合を $F$ とする。$F$ の濃度が ${\kappa }_n$ に等しくなるような 0 以上の整数 $n$ を求めよ。

実数全体の集合を $\mathbb{R}$ とし、その濃度を $\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ とする。$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への連続関数全体の集合を
$$C=\{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\mid f\text{ は連続}\}$$
とする。$C$ の濃度を求めよ。答えは ${\aleph }_0$ と $2$ を使った記号（$2^{{\aleph }_0}$、$2^{2^{{\aleph }_0}}$ など）で答えよ。

ZFC に一般連続体仮説 GCH（すべての無限基数 $\kappa$ に対して $2^{\kappa }={\kappa }^{+}$）を加えた体系で考える。${\omega }_n$ は $n$ 番目の無限始順序数で、$|{\omega }_n|={\aleph }_n$ とする（$n=0,1,2,\dots$）。集合 $X,Y$ に対して ${}^{X}Y$ は $X$ から $Y$ への写像全体の集合、$\mathcal{P}(X)$ は $X$ のべき集合を表す。次の 4 つの集合を考える。

• $A=\{S\subseteq {\omega }_3:S\text{ は高々可算}\}$（有限集合・空集合も含む）
• $B={}^{{\omega }_5}{\omega }_2$
• $C=\mathcal{P}({\omega }_1)\times {}^{{\omega }_1}{\omega }_4$
• $D=\{f:{\omega }_2\to {\omega }_2:f\text{ は全単射}\}$

それぞれの濃度は $|A|={\aleph }_a,|B|={\aleph }_b,|C|={\aleph }_c,|D|={\aleph }_d$（$a,b,c,d$ は $0$ 以上の整数）と表せる。組 $(a,b,c,d)$ を求めよ。

ZFC のもとで考える。$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）、$\mathbb{Q}$ は有理数全体、$\mathbb{R}$ は実数全体とし、$\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ とおく（連続体仮説は仮定しない）。次の 11 個の集合を考える。

$(1)$ 有理数係数の 1 変数多項式全体 $\mathbb{Q}[x]$

$(2)$ 実数である代数的数全体

$(3)$ $\mathbb{N}$ の有限部分集合全体

$(4)$ 写像 $\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ 全体 ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$

$(5)$ 全単射 $\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ 全体

$(6)$ $\mathbb{R}$ の（通常の位相に関する）開集合全体

$(7)$ 連続関数 $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体

$(8)$ $\mathbb{R}$ の高々可算な部分集合（有限集合・空集合を含む）全体

$(9)$ 関数 $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体

$(10)$ $\mathbb{R}$ のルベーグ可測集合全体

$(11)$ $\mathbb{R}$ 上の同値関係全体

これらのうち、濃度が ${\aleph }_0$ であるものの個数、$\mathfrak{c}$ であるものの個数、$2^{\mathfrak{c}}$ であるものの個数を、この順に組で答えよ。

${\mathbb{Z}}_{>0}$ を正の整数全体の集合、$\mathbb{Q}$ を有理数全体の集合、$\mathbb{R}$ を実数全体の集合とする。次の $(1)$〜$(8)$ の集合のうち、濃度が $2^{{\aleph }_0}$（連続体の濃度）であるものの番号をすべて求め、番号の集合として答えよ。

$(1)$ 写像 $f:{\mathbb{Z}}_{>0}\to \{0,1\}$ 全体の集合

$(2)$ 直積集合 $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$

$(3)$ ${\mathbb{Z}}_{>0}$ の有限部分集合（空集合を含む）全体の集合

$(4)$ 実数係数の 1 変数多項式全体の集合 $\mathbb{R}[x]$

$(5)$ 連続関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合

$(6)$ 写像 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合（連続とは限らない）

$(7)$ 実数である代数的数（整数係数の $0$ でない多項式の根になる実数）全体の集合

$(8)$ 正の整数からなる狭義単調増加の無限数列 $(a_1,a_2,a_3,\dots )$（$a_1<a_2<a_3<\cdots$）全体の集合

ZFC のもとで考える。$\mathbb{R}$ は実数全体、$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ は $0$ 以上の整数全体とし、連続体の濃度を $\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ と書く（連続体仮説は仮定しない）。次の集合のうち、濃度がちょうど $\mathfrak{c}$ であるものをすべて選べ。

ア. $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への連続関数全体の集合

イ. $\mathbb{R}$ のルベーグ可測な部分集合全体の集合

ウ. $\mathbb{N}$ から $\mathbb{N}$ への写像全体の集合

エ. 代数的数（有理数係数の $0$ でない多項式の根となる複素数）全体の集合

オ. $\mathbb{R}$ の（通常の位相に関する）開集合全体の集合

カ. $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への全単射全体の集合

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ の濃度を $2^{{\aleph }_0}$ と書く。次の $8$ つの集合 $S_1,\dots ,S_8$ のうち、濃度がちょうど $2^{{\aleph }_0}$ であるものの個数を求めよ。

• $S_1$: 有理数を係数とする $1$ 変数多項式全体の集合 $\mathbb{Q}[x]$
• $S_2$: 実数列 $(a_n{)}_{n=1}^{\infty }$（$a_n\in \mathbb{R}$）全体の集合
• $S_3$: 正の整数全体の集合から $\{0,1\}$ への写像全体の集合
• $S_4$: 正の整数全体の集合の有限部分集合全体の集合
• $S_5$: $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への連続写像全体の集合
• $S_6$: $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への写像全体の集合
• $S_7$: 代数的数（有理数係数の $0$ でない多項式の根となる複素数）全体の集合
• $S_8$: 平面 ${\mathbb{R}}^2$ 内の開円板 $\{(x,y)\mid (x-a{)}^2+(y-b{)}^2<r^2\}$（$a,b\in \mathbb{R}$, $r>0$）全体の集合

ZFC 集合論の中で考える。$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ とし、実数全体 $\mathbb{R}$ の濃度を $\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ とする。次のア〜キの集合のうち、濃度が $2^{\mathfrak{c}}$ であるものをすべて選べ。

ア: $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への連続関数全体の集合

イ: $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への関数全体の集合

ウ: $\mathbb{R}$ の可算部分集合（有限集合を含む）全体の集合

エ: $\mathbb{R}$ のルベーグ可測集合全体の集合

オ: $\mathbb{R}$ のボレル集合全体の集合

カ: $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への単調増加関数（$x<y\Rightarrow f(x)\le f(y)$）全体の集合

キ: $\mathbb{N}$ 上の超フィルター全体の集合

ZFC（選択公理を含む）の中で考え、$\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ とおく。実数全体を $\mathbb{R}$、有理数全体を $\mathbb{Q}$、$0$ 以上の整数全体を $\mathbb{N}$ とする。集合が可算であるとは、有限または $\mathbb{N}$ と全単射をもつことをいう。

関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ が単調非減少であるとは、すべての実数 $x,y$ について $x<y\Rightarrow f(x)\le f(y)$ が成り立つことをいう。単調非減少な関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合を $\mathcal{M}$ とする。$\mathcal{M}$ の濃度が $\mathfrak{c}$ であることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- $|\mathbb{R}|=|{\mathbb{R}}^2|=\mathfrak{c}$、$|\mathbb{Q}|={\aleph }_0$ であり、$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ で稠密である。
- 基数の演算法則 $({\kappa }^{\lambda }{)}^{\mu }={\kappa }^{\lambda \cdot \mu }$ と ${\aleph }_0\cdot {\aleph }_0={\aleph }_0$。
- ベルンシュタインの定理（$|X|\le |Y|$ かつ $|Y|\le |X|$ なら $|X|=|Y|$）。
- 実数の連続性（上に有界な空でない部分集合は上限をもち、下に有界な空でない部分集合は下限をもつ）。

$\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ を実数全体の集合 $\mathbb{R}$ の濃度とする。次の $5$ つの集合を考える。

• $X_1=\{0,1,2\}$
• $X_2$：実数である代数的数全体の集合（整数係数の $1$ 次以上の多項式の実数解となる実数全体）
• $X_3$：通常の位相に関する $\mathbb{R}$ の開集合全体の集合
• $X_4$：$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への連続関数全体の集合
• $X_5$：$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への全単射全体の集合

$i,j\in \{1,2,3,4,5\}$ に対し、$X_i$ から $X_j$ への写像全体の集合を $\mathrm{Map}(X_i,X_j)$ とする。順序対 $(i,j)$ 全 $25$ 個のうち、$\mathrm{Map}(X_i,X_j)$ の濃度がちょうど $2^{\mathfrak{c}}$ であるものの個数を求めよ。

集合 $X,Y$ に対して、$Y$ から $X$ への写像全体の集合を $X^Y$ で表す。ただし、$X^{\varnothing }$ は空写像 $1$ 個だけからなる集合とし、$Y\ne \varnothing$ のとき ${\varnothing }^Y=\varnothing$ とする。${\mathbb{Z}}_{>0}$ を正の整数全体の集合、$\mathbb{R}$ を実数全体の集合、$\mathcal{P}(\mathbb{R})$ を $\mathbb{R}$ のべき集合とする。次の $7$ 個の集合からなる族を考える。
$$\mathcal{F}=\{\varnothing ,\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},{\mathbb{Z}}_{>0},\mathbb{R},\mathcal{P}(\mathbb{R})\}$$
$X,Y$ がそれぞれ $\mathcal{F}$ の元全体を動くとき（$X=Y$ の場合も含む）、$49$ 個の集合 $X^Y$ が得られる。これら $49$ 個の集合の濃度として現れる値は、全部で何種類あるか求めよ。ただし、$2$ つの集合の濃度が等しいとは、それらの間に全単射が存在することである。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ の濃度を $\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ とする。次の $8$ 個の集合のうち、濃度がちょうど $\mathfrak{c}$ であるものの個数を求めよ。

$(1)$ $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への連続関数全体の集合

$(2)$ 有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ の有限部分集合全体の集合

$(3)$ $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への単調増加関数（$x<y\Rightarrow f(x)\le f(y)$ を満たす関数）全体の集合

$(4)$ 閉区間 $[0,1]$ 上で定義された実数値関数のうち、$[0,1]$ でリーマン積分可能なもの全体の集合

$(5)$ 正の整数全体の集合上の同値関係全体の集合

$(6)$ 実代数的数（整数係数の $0$ でない多項式の根となる実数）全体の集合

$(7)$ $\mathbb{R}$（通常の位相）の開集合全体の集合

$(8)$ 関数 $f:\mathbb{R}\to \{0,1\}$ のうち、$f(x)=1$ となる $x$ が有限個であるもの全体の集合

選択公理を含む ZFC で考える。$\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ を連続体の濃度とし、$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ とする。次の集合のうち、濃度が $2^{\mathfrak{c}}$ に等しいものをすべて選べ。

ア．$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への連続関数全体の集合

イ．閉区間 $[0,1]$ 上で定義された実数値関数のうち、リーマン積分可能なもの全体の集合

ウ．$\mathbb{R}$ の部分集合のうち、ルベーグ可測なもの全体の集合

エ．$\mathbb{R}$ のボレル集合全体の集合

オ．$\mathbb{N}$ 上の超フィルター（ultrafilter）全体の集合

カ．複素数体 $\mathbb{C}$ の体としての自己同型全体の集合

キ．$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への単調増加関数（$x<y\Rightarrow f(x)\le f(y)$ をみたす関数）全体の集合

ク．$\mathbb{N}$ から $\mathbb{N}$ への全単射全体の集合

ケ．$\mathbb{R}$ の可算無限部分集合全体の集合

選択公理を含む集合論 ZFC の中で考える。$\mathbb{R}$ を実数全体の集合、$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とし、$\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ を連続体の濃度とする。次のア〜クの集合のうち、濃度が $2^{\mathfrak{c}}$ であるものをすべて選べ。

ア　連続関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合

イ　ルベーグ可測な $\mathbb{R}$ の部分集合全体の集合

ウ　単調非減少な関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$（$x\leqq y\Rightarrow f(x)\leqq f(y)$）全体の集合

エ　すべての $x,y\in \mathbb{R}$ に対して $f(x+y)=f(x)+f(y)$ を満たす関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合

オ　$\mathbb{R}$ の可算な部分集合（有限集合を含む）全体の集合

カ　全単射 $\sigma :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ 全体の集合

キ　濃度がちょうど $\mathfrak{c}$ である $\mathbb{R}$ の部分集合全体の集合

ク　$\mathbb{R}$ の（通常の位相に関する）閉集合全体の集合

ZFC（選択公理を含む集合論）で考える。$\mathbb{R}$ を実数全体、$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ とし、$\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ を $\mathbb{R}$ の濃度とする。次の集合ア〜コのうち、濃度がちょうど $\mathfrak{c}$ であることが ZFC で証明できるものをすべて選べ（連続体仮説などの追加の仮定は用いない）。

ア．連続関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合

イ．$\mathbb{R}$ のルベーグ可測な部分集合全体の集合

ウ．$\mathbb{R}$ のボレル集合全体の集合

エ．$\mathbb{N}$ 上の超フィルター（単項のものも含む）全体の集合

オ．加法的な関数、すなわちすべての $x,y\in \mathbb{R}$ で $f(x+y)=f(x)+f(y)$ を満たす関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合

カ．単調非減少な関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合

キ．実数列 $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ 全体の集合 ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$

ク．体 $\mathbb{R}$ の自己同型写像全体の集合

ケ．$\mathbb{R}$ の可算無限部分集合全体の集合

コ．代数的数（有理数係数の $0$ でない多項式の根となる複素数）全体の集合