数理論理学・集合論の問題

$|\mathcal{M}|\ge \mathfrak{c}$ と $|\mathcal{M}|\le \mathfrak{c}$ を示し、ベルンシュタインの定理で結論する。

下からの評価. $a\in \mathbb{R}$ に定数関数 $c_a(x)=a$ を対応させる。定数関数は単調非減少なので $c_a\in \mathcal{M}$ であり、$a\ne b$ なら $c_a(0)\ne c_b(0)$ なので $a\mapsto c_a$ は単射 $\mathbb{R}\to \mathcal{M}$ である。よって $\mathfrak{c}=|\mathbb{R}|\le |\mathcal{M}|$。

補題 1（片側極限）. $f\in \mathcal{M}$, $x\in \mathbb{R}$ に対し $f(x^{-})=\sup \{f(t):t<x\}$, $f(x^{+})=\inf \{f(t):t>x\}$ とおく。前者の集合は $t=x-1$ を含むので空でなく、単調性から $t<x$ なら $f(t)\le f(x)$ なので $f(x)$ が上界であり、上限が存在して $f(x^{-})\le f(x)$。同様に（不等号の向きを逆にして）後者の集合は空でなく $f(x)$ が下界なので下限が存在して $f(x)\le f(x^{+})$。さらに $f(x^{-})=f(x^{+})$ ならば $f$ は $x$ で連続である。実際このとき $f(x^{-})=f(x)=f(x^{+})$ であり、$\epsilon >0$ に対し、上限・下限の定義から $f(s)>f(x^{-})-\epsilon$ となる $s<x$ と $f(u)<f(x^{+})+\epsilon$ となる $u>x$ がとれる。$s<t<u$ なら単調性から $f(x)-\epsilon <f(s)\le f(t)\le f(u)<f(x)+\epsilon$ となるので、$\delta =\min (x-s,u-x)>0$ とすれば $|t-x|<\delta$ のとき $|f(t)-f(x)|<\epsilon$ である。

補題 2（不連続点は可算）. $f\in \mathcal{M}$ の不連続点の集合を $D_f$ とする。補題 1 の対偶より $x\in D_f$ なら $f(x^{-})<f(x^{+})$ なので、開区間 $J_x=(f(x^{-}),f(x^{+}))$ は空でない。$x<y$ を $D_f$ の 2 点とし $m=(x+y)/2$ とおくと、$m>x$ より $f(x^{+})\le f(m)$、$m<y$ より $f(m)\le f(y^{-})$ なので $f(x^{+})\le f(y^{-})$ となり、$J_x\cap J_y=\varnothing$。$\mathbb{Q}$ は稠密なので各 $J_x$ は有理数を含む。全単射 $\mathbb{N}\to \mathbb{Q}$ を 1 つ固定して $\mathbb{Q}$ を番号付けし、$J_x\cap \mathbb{Q}$ のうち番号が最小のものを $r(x)$ とする。区間 $J_x$ $(x\in D_f)$ は互いに交わらないので $r:D_f\to \mathbb{Q}$ は単射である。よって $|D_f|\le {\aleph }_0$ で、$D_f$ は可算である。

補題 3（$f$ は $\mathbb{Q}\cup D_f$ 上の値で決まる）. $E_f=\mathbb{Q}\cup D_f$ とし、$G_f=\{(x,f(x)):x\in E_f\}\subset {\mathbb{R}}^2$ とおく。補題 2 より $E_f$ は可算な集合 2 つの和集合なので可算であり、$\mathbb{Q}\subset E_f$ なので無限集合だから、$G_f$ は ${\mathbb{R}}^2$ の可算無限部分集合である。$f,g\in \mathcal{M}$ で $G_f=G_g$ とすると $f=g$ であることを示す。$G_f$ の第 1 成分全体は $E_f$ なので $E_f=E_g$（$=E$ とおく）で、$G_f=G_g$ から $E$ 上で $f=g$ である。$x\notin E$ とすると $x\notin D_f\cup D_g$ なので $f,g$ はともに $x$ で連続である。$\mathbb{Q}$ の稠密性から $|q_n-x|<1/(n+1)$ となる有理数列 $(q_n)$ がとれ、$q_n\to x$ である。$q_n\in E$ なので $f(q_n)=g(q_n)$ であり、連続性から $f(x)=\lim f(q_n)=\lim g(q_n)=g(x)$。よって $\mathbb{R}$ 全体で $f=g$。すなわち $f\mapsto G_f$ は $\mathcal{M}$ から $\mathcal{S}=\{S\subset {\mathbb{R}}^2:S\text{ は可算無限集合}\}$ への単射である。

補題 4（$|\mathcal{S}|\le \mathfrak{c}$）. 各 $S\in \mathcal{S}$ に対し、全単射 $\mathbb{N}\to S$ は少なくとも 1 つ存在する。選択公理により、各 $S\in \mathcal{S}$ について全単射 $h_S:\mathbb{N}\to S$ を 1 つずつ選ぶ。$h_S$ を写像 $\mathbb{N}\to {\mathbb{R}}^2$ とみれば $h_S\in ({\mathbb{R}}^2{)}^{\mathbb{N}}$ であり、$h_S$ の像は $S$ なので、$S\ne S^{\prime }$ なら $h_S\ne h_{S^{\prime }}$ である。よって $S\mapsto h_S$ は単射 $\mathcal{S}\to ({\mathbb{R}}^2{)}^{\mathbb{N}}$ である。また
$$|({\mathbb{R}}^2{)}^{\mathbb{N}}|={\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=(2^{{\aleph }_0}{)}^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0\cdot {\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$$
（$|{\mathbb{R}}^2|=\mathfrak{c}$、$|\mathbb{N}|={\aleph }_0$、基数の演算法則、${\aleph }_0\cdot {\aleph }_0={\aleph }_0$ を順に使った）。よって $|\mathcal{S}|\le \mathfrak{c}$。

上からの評価. 補題 3, 4 より $|\mathcal{M}|\le |\mathcal{S}|\le \mathfrak{c}$。

下からの評価 $\mathfrak{c}\le |\mathcal{M}|$ と合わせ、ベルンシュタインの定理により $|\mathcal{M}|=\mathfrak{c}$ である。