数理論理学・集合論の問題

基数の計算で使う基本事実: ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0\cdot {\aleph }_0}=\mathfrak{c}$、${\mathfrak{c}}^{\mathfrak{c}}=2^{{\aleph }_0\cdot \mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$、$|\mathcal{P}(\mathbb{R})|=|{\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}|=2^{\mathfrak{c}}$、そしてカントールの定理より $\mathfrak{c}<2^{\mathfrak{c}}$。各集合はどれも $\mathbb{R}$ の部分集合全体か ${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$ の部分集合なので、濃度は $2^{\mathfrak{c}}$ 以下である。$\mathfrak{c}$ と $2^{\mathfrak{c}}$ のどちらになるかを調べる。

ア（濃度 $\mathfrak{c}$）. $\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ で稠密なので、連続関数は $\mathbb{Q}$ への制限で決まる。よって濃度は $|{\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}|={\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 以下。定数関数だけで $\mathfrak{c}$ 個あるので、ちょうど $\mathfrak{c}$。

イ（濃度 $2^{\mathfrak{c}}$）. カントール集合 $C\subseteq [0,1]$ はルベーグ測度 $0$ で、$|C|=\mathfrak{c}$ である。ルベーグ測度は完備なので、測度 $0$ の集合の部分集合はすべて可測である。よって $\mathcal{P}(C)$ の元はすべて可測で、可測集合は少なくとも $|\mathcal{P}(C)|=2^{\mathfrak{c}}$ 個ある。上からの評価と合わせて $2^{\mathfrak{c}}$。

ウ（濃度 $\mathfrak{c}$）. 単調関数 $f$ の不連続点の集合 $D_f$ は可算である（各不連続点 $x$ に開区間 $(f(x-0),f(x+0))$ が対応し、それらは互いに交わらないので、それぞれから有理数を 1 つ選べば単射が得られる）。$f$ は $\mathbb{Q}\cup D_f$ への制限で決まる。実際、連続点 $x$ では $f(x)=\sup \{f(q):q\in \mathbb{Q},q<x\}$ である。したがって $f\mapsto (D_f,f{|}_{\mathbb{Q}\cup D_f})$ は単射で、その像の個数は高々（$\mathbb{R}$ の可算部分集合の個数）$\times {\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}\cdot \mathfrak{c}=\mathfrak{c}$（可算部分集合の個数はオで見るように $\mathfrak{c}$）。定数関数で $\mathfrak{c}$ 個あるので、ちょうど $\mathfrak{c}$。

エ（濃度 $2^{\mathfrak{c}}$）. $f$ が加法的なら、$f(nx)=nf(x)$（$n$ は整数）から $f(qx)=qf(x)$（$q\in \mathbb{Q}$）が従うので、$f$ は $\mathbb{Q}$ 上の線形写像である。逆も成り立つ。選択公理により $\mathbb{R}$ は $\mathbb{Q}$ 上のハメル基底 $H$ をもつ。$H$ が可算なら $\mathbb{R}$ は可算になってしまうので $|H|$ は非可算で、$|H|\leqq \mathfrak{c}$ と $\mathfrak{c}=|\mathbb{R}|\leqq \max (|H|,{\aleph }_0)$ から $|H|=\mathfrak{c}$。$\mathbb{Q}$ 線形写像は $H$ 上の値を任意に指定して一意に定まるので、その全体は ${\mathbb{R}}^H$ と全単射に対応し、濃度は ${\mathfrak{c}}^{\mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$。

オ（濃度 $\mathfrak{c}$）. 空でない可算集合 $A$ は全射 $\mathbb{N}\to A$ の像として表せるので、空でない可算部分集合の個数は $|{\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}|={\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 以下。1 点集合だけで $\mathfrak{c}$ 個あるので、ちょうど $\mathfrak{c}$。

カ（濃度 $\mathfrak{c}$）. 全単射は ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ の元なので ${\aleph }_0^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 以下。逆に $S\subseteq \mathbb{N}$ ごとに「$n\in S$ なら $2n$ と $2n+1$ を入れ替え、それ以外は動かさない」全単射 ${\sigma }_S$ を作ると $S\mapsto {\sigma }_S$ は単射なので、$2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 以上。よって $\mathfrak{c}$。

キ（濃度 $2^{\mathfrak{c}}$）. $A=(-\infty ,0)$, $B=[0,\infty )$ とおくと $|A|=|B|=\mathfrak{c}$。各 $Y\subseteq B$ に対して $A\cup Y$ は濃度 $\mathfrak{c}$ の部分集合で、$Y\mapsto A\cup Y$ は単射。よって $2^{|B|}=2^{\mathfrak{c}}$ 個以上あり、ちょうど $2^{\mathfrak{c}}$。

ク（濃度 $\mathfrak{c}$）. 閉集合は開集合の補集合と 1 対 1 に対応する。開集合は端点が有理数の開区間（可算個）のいくつかの和集合として書けるので、開集合は可算集合の部分集合族で決まり、個数は $2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 以下。1 点集合は閉集合なので $\mathfrak{c}$ 以上。よって $\mathfrak{c}$。

以上より、濃度が $2^{\mathfrak{c}}$ であるのは イ, エ, キ である。

各選択肢の濃度を調べる（${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=(2^{{\aleph }_0}{)}^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$、${\mathfrak{c}}^{\mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$ を使う）。\n\nア（誤り）: 連続関数は $\mathbb{Q}$ 上の値で決まるので、濃度は高々 ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$。定数関数があるので $\mathfrak{c}$ 以上。よって $\mathfrak{c}$。\n\nイ（正しい）: カントール集合 $C$ はルベーグ測度 0 で濃度 $\mathfrak{c}$。ルベーグ測度は完備なので $C$ の部分集合はすべて可測。よって濃度は $2^{\mathfrak{c}}$ 以上。$\mathbb{R}$ の部分集合全体の濃度が $2^{\mathfrak{c}}$ なので高々 $2^{\mathfrak{c}}$。よって $2^{\mathfrak{c}}$。\n\nウ（誤り）: 単調非減少関数は $\mathbb{Q}$ 上の値と、不連続点（高々可算個）での左右の極限で決まる。連続点では $\mathbb{Q}$ での値から決まり、不連続点は高々可算個で各点の値は $\mathbb{R}$ から選ぶので、全体で高々 ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}\cdot {\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$。定数関数があるので $\mathfrak{c}$ 以上。よって $\mathfrak{c}$。\n\nエ（正しい）: $\mathbb{R}$ を $\mathbb{Q}$ 上のベクトル空間とみたときの基底（ハメル基底、選択公理より存在）$B$ の濃度は $\mathfrak{c}$（$|\mathbb{R}|=|B|\cdot {\aleph }_0$ より）。加法的関数は $\mathbb{Q}$ 線形写像と一致し、基底上の値を任意に定めれば一意に延長できるので、その全体の濃度は $|\mathbb{R}{|}^{|B|}={\mathfrak{c}}^{\mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$。（全体は ${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$ の部分集合なので高々 $2^{\mathfrak{c}}$。）\n\nオ（誤り）: 可算部分集合は ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ の像として高々 ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$、一点集合があるので $\mathfrak{c}$ 以上。よって $\mathfrak{c}$。\n\nカ（誤り）: ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$ の部分集合なので高々 ${\aleph }_0^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$。また、$\mathbb{N}$ の分割を隣り合う 2 数 $\{2k,2k+1\}$ の入れ替えの有無で $2^{{\aleph }_0}$ 個の異なる全単射が作れるので $\mathfrak{c}$ 以上。よって $\mathfrak{c}$。\n\nキ（正しい）: 濃度ちょうど $\mathfrak{c}$ の部分集合。$[0,1]$ の任意の部分集合 $S$ に対し $S\cup [2,3]$ は濃度 $\mathfrak{c}$ の部分集合で、$S$ が異なれば（$[0,1]$ との共通部分が異なるので）異なる。よって $2^{\mathfrak{c}}$ 以上。全部分集合の濃度が $2^{\mathfrak{c}}$ なので高々 $2^{\mathfrak{c}}$。よって $2^{\mathfrak{c}}$。\n\nク（誤り）: 閉集合は補集合である開集合で決まり、開集合は有理端点の開区間の可算和なので、開区間の可算族（${\mathbb{Q}}^2$ の部分集合の可算部分集合）で決まる。濃度は高々 $\mathfrak{c}$、閉区間 $\{a\}$ があるので $\mathfrak{c}$ 以上。よって $\mathfrak{c}$。\n\n以上より答えは イ, エ, キ。