数理論理学・集合論の問題

基本的な基数演算として ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=(2^{{\aleph }_0}{)}^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0\cdot {\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$、${\mathfrak{c}}^{\mathfrak{c}}=2^{{\aleph }_0\cdot \mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$ を使う。また $\mathfrak{c}<2^{\mathfrak{c}}$（カントールの定理）なので、濃度が $\mathfrak{c}$ 以下の集合は答えにならない。

ア（濃度 $\mathfrak{c}$）　連続関数は $\mathbb{Q}$ 上の値で決まる（$\mathbb{Q}$ は稠密）。よって $f\mapsto f{|}_{\mathbb{Q}}$ は単射で、個数は $|{\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}|={\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 以下。定数関数だけで $\mathfrak{c}$ 個あるので、ちょうど $\mathfrak{c}$。

イ（濃度 $2^{\mathfrak{c}}$）　カントール集合 $C\subset [0,1]$ は閉集合で、ルベーグ測度 $0$、濃度 $\mathfrak{c}$。任意の $A\subseteq C$ に対し、$A$ の特性関数 ${\chi }_A$ は有界で、$[0,1]\setminus C$（相対開集合）上では局所的に $0$ なので連続。したがって不連続点の集合は $C$ に含まれ測度 $0$ となり、ルベーグの判定条件からリーマン積分可能。$A\mapsto {\chi }_A$ は単射なので $2^{|C|}=2^{\mathfrak{c}}$ 個以上ある。一方、関数全体は $|{\mathbb{R}}^{[0,1]}|={\mathfrak{c}}^{\mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$ 個なので、ちょうど $2^{\mathfrak{c}}$。

ウ（濃度 $2^{\mathfrak{c}}$）　ルベーグ測度は完備なので、測度 $0$ の集合 $C$ の部分集合はすべてルベーグ可測。よって $2^{\mathfrak{c}}$ 個以上。$\mathbb{R}$ の部分集合全体が $2^{\mathfrak{c}}$ 個なので、ちょうど $2^{\mathfrak{c}}$。

エ（濃度 $\mathfrak{c}$）　ボレル階層 ${\Sigma }_1^0$（開集合）、${\Pi }_{\alpha }^0$（${\Sigma }_{\alpha }^0$ の元の補集合）、${\Sigma }_{\alpha }^0$（$\beta <\alpha$ の ${\Pi }_{\beta }^0$ の元の可算和）を $1\le \alpha <{\omega }_1$ で定めると、ボレル集合全体は ${\bigcup }_{\alpha <{\omega }_1}{\Sigma }_{\alpha }^0$ である（${\omega }_1$ は正則基数なので、可算個の ${\alpha }_n<{\omega }_1$ の上限も ${\omega }_1$ 未満となり、この和集合は可算和で閉じる。ここで選択公理を使う）。開集合は有理端点の開区間の可算和なので $|{\Sigma }_1^0|\le {\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$。超限帰納法で、$|{\Sigma }_{\beta }^0|\le \mathfrak{c}(\beta <\alpha )$ なら ${\Sigma }_{\alpha }^0$ の元は ${\bigcup }_{\beta <\alpha }{\Pi }_{\beta }^0$（濃度 ${\aleph }_0\cdot \mathfrak{c}=\mathfrak{c}$ 以下）の元の列で決まるので $|{\Sigma }_{\alpha }^0|\le {\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$。よって全体は ${\aleph }_1\cdot \mathfrak{c}=\mathfrak{c}$ 以下。一点集合だけで $\mathfrak{c}$ 個あるので、ちょうど $\mathfrak{c}$。

オ（濃度 $2^{\mathfrak{c}}$）　超フィルターは $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ の部分集合なので、個数は $|\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))|=2^{\mathfrak{c}}$ 以下。逆に、$\mathbb{N}$ 上には濃度 $\mathfrak{c}$ の独立族 $\{A_i{\}}_{i\in I}$（相異なる有限個の $A_i$ と、それらと異なる有限個の $A_j$ の補集合 $\mathbb{N}\setminus A_j$ の共通部分が常に無限集合となる族）が存在する（たとえば $\mathbb{N}$ を「有限集合 $F\subseteq \mathbb{N}$ と $F$ の部分集合族 $\mathcal{G}$ の組 $(F,\mathcal{G})$」全体（可算集合）と同一視し、$X\subseteq \mathbb{N}$ ごとに $A_X=\{(F,\mathcal{G}):F\cap X\in \mathcal{G}\}$ とおく。相異なる $X_1,\dots ,X_n,Y_1,\dots ,Y_m$ に対し、これらを互いに区別できるだけの元を含む有限集合 $F$ は無限個あり、そのそれぞれについて $F\cap X_k\in \mathcal{G}$、$F\cap Y_l\notin \mathcal{G}$ となる $\mathcal{G}$ がとれる）。各 $g:I\to \{0,1\}$ に対し、$g(i)=1$ なら $A_i$、$g(i)=0$ なら $\mathbb{N}\setminus A_i$ を集めた族は有限交叉性をもつので、それを含む超フィルター $U_g$ がとれる（ツォルンの補題）。$g\ne g^{\prime }$ なら $U_g$ と $U_{g^{\prime }}$ はある $A_i$ とその補集合で分かれるので異なる。よって $2^{\mathfrak{c}}$ 個以上あり、ちょうど $2^{\mathfrak{c}}$（ポスピーシルの定理）。

カ（濃度 $2^{\mathfrak{c}}$）　$\mathbb{C}$ の $\mathbb{Q}$ 上の超越基底 $B$ をとる。$|\mathbb{Q}(B)|=\max (|B|,{\aleph }_0)$ で、$\mathbb{C}$ は $\mathbb{Q}(B)$ 上代数的なので $|\mathbb{C}|=\max (|B|,{\aleph }_0)$、よって $|B|=\mathfrak{c}$。

まず、$B$ の置換全体の濃度は $2^{\mathfrak{c}}$ である。実際、$|B\times \{0,1\}|=2\cdot \mathfrak{c}=\mathfrak{c}=|B|$ なので全単射によって $B$ を $B\times \{0,1\}$ と同一視し、各 $S\subseteq B$ に対して「$b\in S$ のとき $(b,0)$ と $(b,1)$ を入れ替え、それ以外の元は動かさない」置換 ${\tau }_S$ をとる。$S\mapsto {\tau }_S$ は単射なので置換は $2^{\mathfrak{c}}$ 個以上あり、置換は $B^B$ の元なので ${\mathfrak{c}}^{\mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$ 個以下である。

次に、$B$ は $\mathbb{Q}$ 上代数的に独立なので、$B$ の各置換 $\sigma$ は $\mathbb{Q}(B)$ の自己同型に一意に延びる。$\mathbb{C}$ は $\mathbb{Q}(B)$ の代数閉包なので、代数閉包の一意性から、この自己同型はさらに $\mathbb{C}$ の自己同型に延びる。異なる置換の延長は $B$ 上の値が異なるので互いに異なる。したがって $\mathbb{C}$ の自己同型は $B$ の置換と同じ $2^{\mathfrak{c}}$ 個以上ある。上からは $|{\mathbb{C}}^{\mathbb{C}}|={\mathfrak{c}}^{\mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$ で押さえられるので、ちょうど $2^{\mathfrak{c}}$。

キ（濃度 $\mathfrak{c}$）　単調増加関数 $f$ の不連続点の集合 $D_f$ は可算（各不連続点の跳びの開区間 $(f(x-0),f(x+0))$ は互いに交わらないので、それぞれに異なる有理数がとれる）。$f$ の連続点 $x$ では $f(x)=\sup \{f(q):q\in \mathbb{Q},q<x\}$ なので、$f\mapsto (f{|}_{\mathbb{Q}},f{|}_{D_f})$ は単射。$f{|}_{\mathbb{Q}}$ は ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 通り以下、$f{|}_{D_f}$ は「$\mathbb{R}$ の可算部分集合と、そこから $\mathbb{R}$ への関数」の組で $\mathfrak{c}\cdot {\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 通り以下。よって $\mathfrak{c}$ 以下で、定数関数から $\mathfrak{c}$ 以上。ちょうど $\mathfrak{c}$。

ク（濃度 $\mathfrak{c}$）　$|{\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}|={\aleph }_0^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 以下。各 $x\in \{0,1{\}}^{\mathbb{N}}$ に対し「$x_n=1$ のとき $2n$ と $2n+1$ を入れ替える」置換をとれば単射なので $\mathfrak{c}$ 以上。ちょうど $\mathfrak{c}$。

ケ（濃度 $\mathfrak{c}$）　可算無限部分集合は $\mathbb{N}$ から $\mathbb{R}$ への単射の像なので ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 以下。$\{r+n:n\in \mathbb{N}\}(r\in [0,1))$ が互いに異なるので $\mathfrak{c}$ 以上。ちょうど $\mathfrak{c}$。

以上より、濃度が $2^{\mathfrak{c}}$ なのは イ, ウ, オ, カ である。

各集合の濃度を $\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ として評価する。$\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ の関数全体の濃度は ${\mathfrak{c}}^{\mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$、$\mathcal{P}(\mathbb{R})$ の濃度も $2^{\mathfrak{c}}$ であり、これが上限になる。

ア．連続関数は $\mathbb{Q}$ 上の値で決まるので $\le {\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$。定数関数があるので $=\mathfrak{c}$。$2^{\mathfrak{c}}$ ではない（誤）。

イ．カントール集合 $C$ はルベーグ測度 0 で濃度 $\mathfrak{c}$。$C$ の外で 0 の関数 $f$ は有界で、不連続点が $C$ に含まれ測度 0 なので、リーマン積分可能（ルベーグの判定条件）。$C$ の部分集合の指示関数だけで $2^{\mathfrak{c}}$ 個あり、全体は $\le 2^{\mathfrak{c}}$ なので $=2^{\mathfrak{c}}$（正）。

ウ．$C$ の任意の部分集合は測度 0 の集合の部分集合なのでルベーグ可測。よって $\ge 2^{\mathfrak{c}}$、かつ $\le |\mathcal{P}(\mathbb{R})|=2^{\mathfrak{c}}$（正）。

エ．ボレル集合全体の濃度は $\mathfrak{c}$（開集合は可算個の開区間の和で $\mathfrak{c}$ 個、超限帰納法で ${\aleph }_1\cdot \mathfrak{c}=\mathfrak{c}$）（誤）。

オ．$\mathbb{N}$ 上の超フィルター全体 $\beta \mathbb{N}$ の濃度は、Pospíšil（Hausdorff の独立族）の定理により $2^{\mathfrak{c}}$（正）。

カ．$\mathbb{C}$ の超越基底 $B$ は濃度 $\mathfrak{c}$。$B$ の任意の置換は $\mathbb{Q}(B)$ の自己同型に延び、さらに代数閉包 $\mathbb{C}$ の自己同型に延びる。異なる置換は異なる自己同型を与えるので $|\mathrm{Aut}(\mathbb{C})|\ge \mathfrak{c}!=2^{\mathfrak{c}}$。$\le {\mathfrak{c}}^{\mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$ なので $=2^{\mathfrak{c}}$（正）。

キ．単調増加関数の不連続点は高々可算個で、$\mathbb{Q}$ 上の値と不連続点での値により決まるので、濃度は $\le {\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$（誤）。

ク．$\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ の関数全体が ${\aleph }_0^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ なので全単射は $\le \mathfrak{c}$（誤。$=\mathfrak{c}$）。

ケ．可算無限部分集合は ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ の像として $\le {\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$（誤）。

以上より、答えは イ, ウ, オ, カ。個数の確認として、$2^{\mathfrak{c}}$ になるのは上限 $|\mathcal{P}(\mathbb{R})|$ に達するものだけで、いずれも $\mathfrak{c}$ 個の点上の自由な選択（カントール集合の部分集合、独立族、超越基底の置換）を含むことを確認した。