数理論理学・集合論の問題

選択公理を含む集合論 ZFC の中で考える。$\mathbb{R}$ を実数全体の集合、$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とし、$\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ を連続体の濃度とする。次のア〜クの集合のうち、濃度が $2^{\mathfrak{c}}$ であるものをすべて選べ。

ア　連続関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合

イ　ルベーグ可測な $\mathbb{R}$ の部分集合全体の集合

ウ　単調非減少な関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$（$x\leqq y\Rightarrow f(x)\leqq f(y)$）全体の集合

エ　すべての $x,y\in \mathbb{R}$ に対して $f(x+y)=f(x)+f(y)$ を満たす関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合

オ　$\mathbb{R}$ の可算な部分集合（有限集合を含む）全体の集合

カ　全単射 $\sigma :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ 全体の集合

キ　濃度がちょうど $\mathfrak{c}$ である $\mathbb{R}$ の部分集合全体の集合

ク　$\mathbb{R}$ の（通常の位相に関する）閉集合全体の集合

選択公理を含む ZFC で考える。$\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ を連続体の濃度とし、$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ とする。次の集合のうち、濃度が $2^{\mathfrak{c}}$ に等しいものをすべて選べ。

ア．$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への連続関数全体の集合

イ．閉区間 $[0,1]$ 上で定義された実数値関数のうち、リーマン積分可能なもの全体の集合

ウ．$\mathbb{R}$ の部分集合のうち、ルベーグ可測なもの全体の集合

エ．$\mathbb{R}$ のボレル集合全体の集合

オ．$\mathbb{N}$ 上の超フィルター（ultrafilter）全体の集合

カ．複素数体 $\mathbb{C}$ の体としての自己同型全体の集合

キ．$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への単調増加関数（$x<y\Rightarrow f(x)\le f(y)$ をみたす関数）全体の集合

ク．$\mathbb{N}$ から $\mathbb{N}$ への全単射全体の集合

ケ．$\mathbb{R}$ の可算無限部分集合全体の集合

ZFC のもとで考える。$\mathbb{R}$ は実数全体、$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ は $0$ 以上の整数全体とし、連続体の濃度を $\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ と書く（連続体仮説は仮定しない）。次の集合のうち、濃度がちょうど $\mathfrak{c}$ であるものをすべて選べ。

ア. $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への連続関数全体の集合

イ. $\mathbb{R}$ のルベーグ可測な部分集合全体の集合

ウ. $\mathbb{N}$ から $\mathbb{N}$ への写像全体の集合

エ. 代数的数（有理数係数の $0$ でない多項式の根となる複素数）全体の集合

オ. $\mathbb{R}$ の（通常の位相に関する）開集合全体の集合

カ. $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への全単射全体の集合

ZFC（選択公理を含む集合論）で考える。$\mathbb{R}$ を実数全体、$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ とし、$\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ を $\mathbb{R}$ の濃度とする。次の集合ア〜コのうち、濃度がちょうど $\mathfrak{c}$ であることが ZFC で証明できるものをすべて選べ（連続体仮説などの追加の仮定は用いない）。

ア．連続関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合

イ．$\mathbb{R}$ のルベーグ可測な部分集合全体の集合

ウ．$\mathbb{R}$ のボレル集合全体の集合

エ．$\mathbb{N}$ 上の超フィルター（単項のものも含む）全体の集合

オ．加法的な関数、すなわちすべての $x,y\in \mathbb{R}$ で $f(x+y)=f(x)+f(y)$ を満たす関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合

カ．単調非減少な関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合

キ．実数列 $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ 全体の集合 ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$

ク．体 $\mathbb{R}$ の自己同型写像全体の集合

ケ．$\mathbb{R}$ の可算無限部分集合全体の集合

コ．代数的数（有理数係数の $0$ でない多項式の根となる複素数）全体の集合

ZFC のもとで考える。$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）、$\mathbb{Q}$ は有理数全体、$\mathbb{R}$ は実数全体とし、$\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ とおく（連続体仮説は仮定しない）。次の 11 個の集合を考える。

$(1)$ 有理数係数の 1 変数多項式全体 $\mathbb{Q}[x]$

$(2)$ 実数である代数的数全体

$(3)$ $\mathbb{N}$ の有限部分集合全体

$(4)$ 写像 $\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ 全体 ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$

$(5)$ 全単射 $\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ 全体

$(6)$ $\mathbb{R}$ の（通常の位相に関する）開集合全体

$(7)$ 連続関数 $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体

$(8)$ $\mathbb{R}$ の高々可算な部分集合（有限集合・空集合を含む）全体

$(9)$ 関数 $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体

$(10)$ $\mathbb{R}$ のルベーグ可測集合全体

$(11)$ $\mathbb{R}$ 上の同値関係全体

これらのうち、濃度が ${\aleph }_0$ であるものの個数、$\mathfrak{c}$ であるものの個数、$2^{\mathfrak{c}}$ であるものの個数を、この順に組で答えよ。