数理論理学・集合論の問題

基本となる計算は ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=(2^{{\aleph }_0}{)}^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0\cdot {\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ と、カントールの定理 $2^{\mathfrak{c}}>\mathfrak{c}$ である。以下、それぞれの濃度を決める。

ア（$\mathfrak{c}$）　連続関数は $\mathbb{Q}$ 上の値で決まる（$\mathbb{Q}$ は稠密で、連続関数どうしが $\mathbb{Q}$ 上で一致すれば全体で一致する）。よって $f\mapsto f{|}_{\mathbb{Q}}$ は単射で、濃度は $\le |{\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}|={\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$。定数関数だけで $\mathfrak{c}$ 個あるので、ちょうど $\mathfrak{c}$。

イ（$2^{\mathfrak{c}}$）　カントール集合 $C$ はルベーグ測度 $0$ で $|C|=\mathfrak{c}$。ルベーグ測度は完備なので $C$ の部分集合はすべて可測であり、可測集合は少なくとも $|\mathcal{P}(C)|=2^{\mathfrak{c}}$ 個ある。上からは $|\mathcal{P}(\mathbb{R})|=2^{\mathfrak{c}}$ でおさえられる。よって $2^{\mathfrak{c}}\ne \mathfrak{c}$。

ウ（$\mathfrak{c}$）　開区間の端点を有理数に限った可算個の開区間族 ${\mathcal{B}}_0$ から始め、${\Sigma }_{\alpha }$（$\alpha <{\omega }_1$）を「それ以前に得られた集合族の補集合と可算和をとる」操作で超限帰納的に定めると、ボレル集合族は ${\bigcup }_{\alpha <{\omega }_1}{\Sigma }_{\alpha }$ に等しい（${\omega }_1$ は非可算正則なので、可算個の集合はある段階 $\alpha <{\omega }_1$ ですべて得られている）。各段階で $|{\Sigma }_{\alpha }|\le \mathfrak{c}$ なら次の段階も $\le {\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ であり、極限段階でも $\le {\aleph }_1\cdot \mathfrak{c}=\mathfrak{c}$。よってボレル集合全体は $\le {\aleph }_1\cdot \mathfrak{c}=\mathfrak{c}$。一点集合 $\{x\}$ がすべてボレル集合なので $\ge \mathfrak{c}$。ちょうど $\mathfrak{c}$。

エ（$2^{\mathfrak{c}}$）　ポスピーシルの定理より、$\mathbb{N}$ 上の超フィルターは $2^{2^{{\aleph }_0}}=2^{\mathfrak{c}}$ 個ある（独立な部分集合族 $\{A_i{\}}_{i<\mathfrak{c}}$ を作り、各 $g:\mathfrak{c}\to \{0,1\}$ に対し $\{A_i:g(i)=1\}\cup \{\mathbb{N}\setminus A_i:g(i)=0\}$ が有限交叉性をもつので、これを含む超フィルターが $g$ ごとに異なる）。上からは $|\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))|=2^{\mathfrak{c}}$。よって $\mathfrak{c}$ ではない。

オ（$2^{\mathfrak{c}}$）　選択公理より $\mathbb{R}$ の $\mathbb{Q}$ 上のベクトル空間としての基底（ハメル基底）$H$ がとれ、$|H|=\mathfrak{c}$（$|H|\le {\aleph }_0$ なら $|\mathbb{R}|\le {\aleph }_0$ となって矛盾し、$H$ の有限部分集合上の有理係数の一次結合全体の濃度は $|H|$ なので $|H|=\mathfrak{c}$）。任意の写像 $H\to \mathbb{R}$ は $\mathbb{Q}$ 線形写像に一意に拡張され、$\mathbb{Q}$ 線形写像は加法的。よって加法的関数は少なくとも $|{\mathbb{R}}^H|={\mathfrak{c}}^{\mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$ 個あり、上からは $|{\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}|=2^{\mathfrak{c}}$。$\mathfrak{c}$ ではない。

カ（$\mathfrak{c}$）　単調非減少関数 $f$ の不連続点の集合 $D(f)$ は高々可算である（各不連続点 $x$ で開区間 $(f(x-0),f(x+0))$ が空でなく互いに交わらないので、その中の有理数を選べば単射ができる）。連続点 $x$ では $f(x)=\sup \{f(q):q\in \mathbb{Q},q<x\}$ だから、$f$ は組 $(D(f),f{|}_{\mathbb{Q}\cup D(f)})$ で決まる。高々可算な部分集合 $D$ の選び方は $\le {\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 通り、各 $D$ に対し $\mathbb{Q}\cup D$ 上の関数は $\le {\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 通りなので、全体は $\le \mathfrak{c}\cdot \mathfrak{c}=\mathfrak{c}$。定数関数で $\ge \mathfrak{c}$。ちょうど $\mathfrak{c}$。

キ（$\mathfrak{c}$）　$|{\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}|={\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$。

ク（$1$）　体の自己同型 $\sigma$ は $\mathbb{Q}$ を固定する。また $x\ge 0⟺x=y^2$ となる $y$ がある、なので $\sigma$ は非負の数を非負の数に写し、順序を保つ。$\mathbb{Q}$ を固定し順序を保つ写像は、有理数ではさみうちすることで恒等写像に限る。よって濃度は $1$ で、$\mathfrak{c}$ ではない。

ケ（$\mathfrak{c}$）　可算無限部分集合 $A$ は全射 $\mathbb{N}\to A$、すなわち実数列の値域として表せるので、濃度は $\le |{\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}|=\mathfrak{c}$。一方 $x\mapsto \{x\}\cup \mathbb{N}$（$x\notin \mathbb{N}$）などで $\ge \mathfrak{c}$。ちょうど $\mathfrak{c}$。

コ（${\aleph }_0$）　有理係数多項式は可算個で、それぞれの根は有限個なので、代数的数は可算個（無限個あるのでちょうど ${\aleph }_0$）。${\aleph }_0<\mathfrak{c}$ なので $\mathfrak{c}$ ではない。

以上より、濃度がちょうど $\mathfrak{c}$ であるのは ア, ウ, カ, キ, ケ。

各集合の濃度を調べる。

ア．連続関数は $\mathbb{Q}$ 上の値で決まるので $\le {\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$。定数関数があるので $\ge \mathfrak{c}$。よって濃度は $\mathfrak{c}$。正しい。

イ．カントール集合は測度 0 で濃度 $\mathfrak{c}$、その部分集合はすべてルベーグ可測（完備性）。よって $2^{\mathfrak{c}}$ 個以上あり、$\mathfrak{c}$ ではない（カントールの定理）。誤り。

ウ．ボレル集合は開集合から可算回の補集合・可算和で生成され、ボレル集合全体の濃度は $\mathfrak{c}$（超限帰納法で ${\omega }_1$ 段階、各段階 $\mathfrak{c}$ 個）。一点集合があるので $\ge \mathfrak{c}$。正しい。

エ．$\mathbb{N}$ 上の超フィルター全体 $\beta \mathbb{N}$ の濃度は $2^{\mathfrak{c}}$（ハウスドルフの独立族による）。誤り。

オ．加法的関数は $\mathbb{Q}$ 上線形で、ハメル基底（濃度 $\mathfrak{c}$）上の値を自由に決められる。よって ${\mathfrak{c}}^{\mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$ 個。誤り。

カ．単調非減少関数の不連続点は高々可算。$\mathbb{Q}$ 上の値と不連続点での左右の極限（可算個のデータ）で決まるので $\le {\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$。定数関数があるので $\ge \mathfrak{c}$。正しい。

キ．${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0\cdot {\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$。正しい。

ク．$\mathbb{R}$ の体自己同型は順序を保つので恒等写像のみ。濃度 1。誤り。

ケ．可算無限部分集合は可算列で表せるので $\le {\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$。$\{x+n:n\in \mathbb{N}\}$ ($x\in \mathbb{R}$) が互いに異なる集合を $\mathfrak{c}$ 個与える（$x\in [0,1)$ をとる）ので $\ge \mathfrak{c}$。正しい。

コ．代数的数は可算個（有理数係数多項式が可算個で各々根が有限個）。誤り。

以上より、答えは ア, ウ, カ, キ, ケ。