上界と単射による濃度の決定

広義単調増加な関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$（$x<y$ ならば $f(x)\leqq f(y)$ を満たす関数）全体の集合を $M$ とする。$\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ を連続体の濃度とするとき、$M$ の濃度として正しいものを次から 1 つ選べ。

ア. ${\aleph }_0$

イ. $\mathfrak{c}$

ウ. $2^{\mathfrak{c}}$

ZFC に一般連続体仮説 GCH（すべての無限基数 $\kappa$ に対して $2^{\kappa }={\kappa }^{+}$）を加えた体系で考える。${\omega }_n$ は $n$ 番目の無限始順序数で、$|{\omega }_n|={\aleph }_n$ とする（$n=0,1,2,\dots$）。集合 $X,Y$ に対して ${}^{X}Y$ は $X$ から $Y$ への写像全体の集合、$\mathcal{P}(X)$ は $X$ のべき集合を表す。次の 4 つの集合を考える。

• $A=\{S\subseteq {\omega }_3:S\text{ は高々可算}\}$（有限集合・空集合も含む）
• $B={}^{{\omega }_5}{\omega }_2$
• $C=\mathcal{P}({\omega }_1)\times {}^{{\omega }_1}{\omega }_4$
• $D=\{f:{\omega }_2\to {\omega }_2:f\text{ は全単射}\}$

それぞれの濃度は $|A|={\aleph }_a,|B|={\aleph }_b,|C|={\aleph }_c,|D|={\aleph }_d$（$a,b,c,d$ は $0$ 以上の整数）と表せる。組 $(a,b,c,d)$ を求めよ。

ZFC のもとで考える。$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）、$\mathbb{Q}$ は有理数全体、$\mathbb{R}$ は実数全体とし、$\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ とおく（連続体仮説は仮定しない）。次の 11 個の集合を考える。

$(1)$ 有理数係数の 1 変数多項式全体 $\mathbb{Q}[x]$

$(2)$ 実数である代数的数全体

$(3)$ $\mathbb{N}$ の有限部分集合全体

$(4)$ 写像 $\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ 全体 ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$

$(5)$ 全単射 $\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ 全体

$(6)$ $\mathbb{R}$ の（通常の位相に関する）開集合全体

$(7)$ 連続関数 $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体

$(8)$ $\mathbb{R}$ の高々可算な部分集合（有限集合・空集合を含む）全体

$(9)$ 関数 $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体

$(10)$ $\mathbb{R}$ のルベーグ可測集合全体

$(11)$ $\mathbb{R}$ 上の同値関係全体

これらのうち、濃度が ${\aleph }_0$ であるものの個数、$\mathfrak{c}$ であるものの個数、$2^{\mathfrak{c}}$ であるものの個数を、この順に組で答えよ。

ZFC のもとで考える。$\mathbb{R}$ は実数全体、$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ は $0$ 以上の整数全体とし、連続体の濃度を $\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ と書く（連続体仮説は仮定しない）。次の集合のうち、濃度がちょうど $\mathfrak{c}$ であるものをすべて選べ。

ア. $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への連続関数全体の集合

イ. $\mathbb{R}$ のルベーグ可測な部分集合全体の集合

ウ. $\mathbb{N}$ から $\mathbb{N}$ への写像全体の集合

エ. 代数的数（有理数係数の $0$ でない多項式の根となる複素数）全体の集合

オ. $\mathbb{R}$ の（通常の位相に関する）開集合全体の集合

カ. $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への全単射全体の集合

ZFC 集合論の中で考える。$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ とし、実数全体 $\mathbb{R}$ の濃度を $\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ とする。次のア〜キの集合のうち、濃度が $2^{\mathfrak{c}}$ であるものをすべて選べ。

ア: $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への連続関数全体の集合

イ: $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への関数全体の集合

ウ: $\mathbb{R}$ の可算部分集合（有限集合を含む）全体の集合

エ: $\mathbb{R}$ のルベーグ可測集合全体の集合

オ: $\mathbb{R}$ のボレル集合全体の集合

カ: $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への単調増加関数（$x<y\Rightarrow f(x)\le f(y)$）全体の集合

キ: $\mathbb{N}$ 上の超フィルター全体の集合

ZFC（選択公理を含む）の中で考え、$\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ とおく。実数全体を $\mathbb{R}$、有理数全体を $\mathbb{Q}$、$0$ 以上の整数全体を $\mathbb{N}$ とする。集合が可算であるとは、有限または $\mathbb{N}$ と全単射をもつことをいう。

関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ が単調非減少であるとは、すべての実数 $x,y$ について $x<y\Rightarrow f(x)\le f(y)$ が成り立つことをいう。単調非減少な関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合を $\mathcal{M}$ とする。$\mathcal{M}$ の濃度が $\mathfrak{c}$ であることを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- $|\mathbb{R}|=|{\mathbb{R}}^2|=\mathfrak{c}$、$|\mathbb{Q}|={\aleph }_0$ であり、$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ で稠密である。
- 基数の演算法則 $({\kappa }^{\lambda }{)}^{\mu }={\kappa }^{\lambda \cdot \mu }$ と ${\aleph }_0\cdot {\aleph }_0={\aleph }_0$。
- ベルンシュタインの定理（$|X|\le |Y|$ かつ $|Y|\le |X|$ なら $|X|=|Y|$）。
- 実数の連続性（上に有界な空でない部分集合は上限をもち、下に有界な空でない部分集合は下限をもつ）。

選択公理を含む ZFC で考える。$\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ を連続体の濃度とし、$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ とする。次の集合のうち、濃度が $2^{\mathfrak{c}}$ に等しいものをすべて選べ。

ア．$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への連続関数全体の集合

イ．閉区間 $[0,1]$ 上で定義された実数値関数のうち、リーマン積分可能なもの全体の集合

ウ．$\mathbb{R}$ の部分集合のうち、ルベーグ可測なもの全体の集合

エ．$\mathbb{R}$ のボレル集合全体の集合

オ．$\mathbb{N}$ 上の超フィルター（ultrafilter）全体の集合

カ．複素数体 $\mathbb{C}$ の体としての自己同型全体の集合

キ．$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への単調増加関数（$x<y\Rightarrow f(x)\le f(y)$ をみたす関数）全体の集合

ク．$\mathbb{N}$ から $\mathbb{N}$ への全単射全体の集合

ケ．$\mathbb{R}$ の可算無限部分集合全体の集合

選択公理を含む集合論 ZFC の中で考える。$\mathbb{R}$ を実数全体の集合、$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とし、$\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ を連続体の濃度とする。次のア〜クの集合のうち、濃度が $2^{\mathfrak{c}}$ であるものをすべて選べ。

ア　連続関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合

イ　ルベーグ可測な $\mathbb{R}$ の部分集合全体の集合

ウ　単調非減少な関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$（$x\leqq y\Rightarrow f(x)\leqq f(y)$）全体の集合

エ　すべての $x,y\in \mathbb{R}$ に対して $f(x+y)=f(x)+f(y)$ を満たす関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合

オ　$\mathbb{R}$ の可算な部分集合（有限集合を含む）全体の集合

カ　全単射 $\sigma :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ 全体の集合

キ　濃度がちょうど $\mathfrak{c}$ である $\mathbb{R}$ の部分集合全体の集合

ク　$\mathbb{R}$ の（通常の位相に関する）閉集合全体の集合

ZFC（選択公理を含む集合論）で考える。$\mathbb{R}$ を実数全体、$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ とし、$\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$ を $\mathbb{R}$ の濃度とする。次の集合ア〜コのうち、濃度がちょうど $\mathfrak{c}$ であることが ZFC で証明できるものをすべて選べ（連続体仮説などの追加の仮定は用いない）。

ア．連続関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合

イ．$\mathbb{R}$ のルベーグ可測な部分集合全体の集合

ウ．$\mathbb{R}$ のボレル集合全体の集合

エ．$\mathbb{N}$ 上の超フィルター（単項のものも含む）全体の集合

オ．加法的な関数、すなわちすべての $x,y\in \mathbb{R}$ で $f(x+y)=f(x)+f(y)$ を満たす関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合

カ．単調非減少な関数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の集合

キ．実数列 $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ 全体の集合 ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$

ク．体 $\mathbb{R}$ の自己同型写像全体の集合

ケ．$\mathbb{R}$ の可算無限部分集合全体の集合

コ．代数的数（有理数係数の $0$ でない多項式の根となる複素数）全体の集合