数理論理学・集合論の問題

準備（GCH のもとでのべき）. $\kappa ,\lambda$ を無限基数とする。

(i) $\kappa \le \lambda$ のとき、$2^{\lambda }\le {\kappa }^{\lambda }\le (2^{\kappa }{)}^{\lambda }=2^{\kappa \lambda }=2^{\lambda }$ より ${\kappa }^{\lambda }=2^{\lambda }={\lambda }^{+}$。

(ii) $\kappa$ が正則で $\lambda <\kappa$ のとき、$\lambda$ から $\kappa$ への写像は値域の大きさが $\lambda <\mathrm{cf}\kappa =\kappa$ なので有界である。よって ${}^{\lambda }\kappa ={\bigcup }_{\alpha <\kappa }{}^{\lambda }\alpha$。各 $\alpha <\kappa$ について $\mu =\max (|\alpha |,\lambda )<\kappa$ とおくと $|{}^{\lambda }\alpha |\le {\mu }^{\lambda }\le 2^{\mu }={\mu }^{+}\le \kappa$。したがって $\kappa \le {\kappa }^{\lambda }\le \kappa \cdot \kappa =\kappa$、すなわち ${\kappa }^{\lambda }=\kappa$。

${\aleph }_n$（$n$ 有限）は後続基数なので正則であり、(ii) が使える。

$A$. 一元集合だけでも ${\aleph }_3$ 個あるので $|A|\ge {\aleph }_3$。一方、空でない高々可算な部分集合は、ある写像 $g:\omega \to {\omega }_3$ の像として表せるので、${}^{\omega }{\omega }_3$ から $A\setminus \{\varnothing \}$ への全射がある。よって $|A|\le {\aleph }_3^{{\aleph }_0}+1$。(ii) より ${\aleph }_3^{{\aleph }_0}={\aleph }_3$。ゆえに $|A|={\aleph }_3$、$a=3$。

$B$. $|B|={\aleph }_2^{{\aleph }_5}$。${\aleph }_2\le {\aleph }_5$ なので (i) より $|B|=2^{{\aleph }_5}={\aleph }_6$、$b=6$。

$C$. $|\mathcal{P}({\omega }_1)|=2^{{\aleph }_1}={\aleph }_2$。$|{}^{{\omega }_1}{\omega }_4|={\aleph }_4^{{\aleph }_1}$ で、${\aleph }_1<{\aleph }_4$ かつ ${\aleph }_4$ は正則なので (ii) より ${\aleph }_4$。よって $|C|={\aleph }_2\cdot {\aleph }_4=\max ({\aleph }_2,{\aleph }_4)={\aleph }_4$、$c=4$。

$D$. 上からの評価：$D\subseteq {}^{{\omega }_2}{\omega }_2$ より $|D|\le {\aleph }_2^{{\aleph }_2}=2^{{\aleph }_2}$。

下からの評価：各順序数 $\beta <{\omega }_2$ は $\beta =\lambda +n$（$\lambda$ は $0$ または極限順序数、$n<\omega$）と一意に書ける。$\lambda +2k$ と $\lambda +2k+1$ を組にすると、${\omega }_2$ は ${\aleph }_2$ 個の 2 元集合 $P_i$（$i\in I$、$|I|={\aleph }_2$）に分割される。各 $T\subseteq I$ に対し、$i\in T$ の組 $P_i$ の 2 元を入れ替え、他の点は動かさない写像 $f_T$ は全単射である。$T\ne T^{\prime }$ なら $f_T\ne f_{T^{\prime }}$ なので、$T\mapsto f_T$ は $\mathcal{P}(I)$ から $D$ への単射になる。よって $|D|\ge 2^{{\aleph }_2}$。

以上より $|D|=2^{{\aleph }_2}={\aleph }_3$、$d=3$。

したがって $(a,b,c,d)=(3,6,4,3)$。

GCH のもとで、無限基数 $\kappa ,\lambda$ について、$\lambda <\mathrm{cf}(\kappa )$ なら ${\kappa }^{\lambda }=\kappa$、$\mathrm{cf}(\kappa )\le \lambda \le \kappa$ なら ${\kappa }^{\lambda }={\kappa }^{+}$、$\kappa \le \lambda$ なら ${\kappa }^{\lambda }={\lambda }^{+}$ が成り立つ。ここで ${\aleph }_n$（$n$ は有限）はすべて正則基数である。

A: ${\omega }_3$ の高々可算な部分集合全体の濃度は ${\aleph }_3^{{\aleph }_0}$ である。${\aleph }_0<{\aleph }_3=\mathrm{cf}({\aleph }_3)$ なので ${\aleph }_3^{{\aleph }_0}={\aleph }_3$ となり、$a=3$。

B: $|B|={\aleph }_2^{{\aleph }_5}$。${\aleph }_2\le {\aleph }_5$ なので ${\aleph }_2^{{\aleph }_5}=2^{{\aleph }_5}={\aleph }_6$ となり、$b=6$。

C: $|\mathcal{P}({\omega }_1)|=2^{{\aleph }_1}={\aleph }_2$。$|{}^{{\omega }_1}{\omega }_4|={\aleph }_4^{{\aleph }_1}$ で、${\aleph }_1<\mathrm{cf}({\aleph }_4)={\aleph }_4$ なので ${\aleph }_4$。積の濃度は ${\aleph }_2\cdot {\aleph }_4={\aleph }_4$ となり、$c=4$。

D: $D\subseteq {}^{{\omega }_2}{\omega }_2$ なので $|D|\le {\aleph }_2^{{\aleph }_2}=2^{{\aleph }_2}={\aleph }_3$。逆に、${\omega }_2\times 2$ と ${\omega }_2$ の間の全単射により、${\omega }_2$ を 2 点集合 $\{2\alpha ,2\alpha +1\}$ の分割とみなす。各 $\alpha$ でその 2 点を入れ替えるかどうかを決めると、$2^{{\aleph }_2}$ 個の相異なる全単射が得られる。よって $|D|=2^{{\aleph }_2}={\aleph }_3$ となり、$d=3$。

答えは $(a,b,c,d)=(3,6,4,3)$。