内部・閉包・境界・集積点

$R$ ・ $R^{2}$ の部分集合や有限位相空間の部分集合について、次のものを求められる: 内部 $A^{\circ}$ 、閉包 $A$ 、境界 $\partial A = A ∖ A^{\circ}$ 、集積点全体（導集合）、孤立点。点列の極限も使って求められる（例: ${\frac{1}{n} ∣ n \in Z_{> 0}}$ の集積点は ${0}$ ）。また、開集合・閉集合かを判定できる

前提

距離空間と開球（大学数学集合と位相）
有限集合上の位相（大学数学集合と位相）
数列の極限（数学III 極限）

この技能までの道筋（49 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
平行線と線分の比（中学数学相似と三平方の定理）
2点間の距離と内分点・外分点（数学II 図形と方程式）
1 次不等式（数学I 数と式）
絶対値を含む方程式・不等式の基本（数学I 数と式）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
距離空間と開球（大学数学集合と位相）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
写像・単射の個数と集合の濃度（大学数学集合と位相）
有限集合上の位相（大学数学集合と位相）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）

説明

集合 $A$ のふちがどこにあるかを、点ごとに「近くに $A$ の点があるか」「近くが全部 $A$ か」で判定する技能です。これを使うと、 $R$ ・ $R^{2}$ の部分集合や有限位相空間の部分集合について、内部 $A^{\circ}$ 、閉包 $A$ 、境界 $\partial A$ 、集積点全体、孤立点を求められます。さらに、その集合が開集合か閉集合かも判定できます。関数の定義域の性質を調べるとき、極限や連続性を議論するとき、最適化で最大値をとる点が境界上にあるかを調べるときなどに使います。

なぜそうしてよいのか

距離空間 $(X, d)$ では、点 $a$ の近くを開球 $B (a, r) = {x ∣ d (x, a) < r}$ で表します。用語は次のように定めます。
・内点: ある $r > 0$ で $B (a, r) \subset A$ となる点 $a$ です。内点全体を内部 $A^{\circ}$ と書きます。
・触点: すべての $r > 0$ で $B (a, r) \cap A \neq = \emptyset$ となる点 $a$ です。触点全体を閉包 $A$ と書きます。
・集積点: すべての $r > 0$ で $B (a, r)$ が $a$ 以外の $A$ の点を含む点 $a$ です。集積点全体を導集合 $A^{'}$ と書きます。
・孤立点: $a \in A$ で、ある $r > 0$ で $B (a, r) \cap A = {a}$ となる点です。
・開集合・閉集合: $A = A^{\circ}$ のとき $A$ を開集合、 $A = A$ のとき閉集合といいます。
有限位相空間では「開球 $B (a, r)$ 」を「 $a$ を含む開集合」に置き換えて、同じように定義します。

内部は「少し動いても $A$ から出ない点」、閉包は「 $A$ にいくらでも近づける点」です。定義から $A^{\circ} \subset A \subset A$ が成り立ちます。そこで、その差 $\partial A = A ∖ A^{\circ}$ を境界と呼びます。 $a \in \partial A$ は「どの開球も $A$ と交わる」かつ「どの開球も $A$ に含まれない」という意味です。つまり、どんなに小さな開球にも $A$ の点と $A$ の外の点が両方入っている点で、直観どおりの「ふち」になっています。

距離空間では、点列の極限で言い換えられます。 $a \in A$ ならば、各 $n$ について $B (a, \frac{1}{n})$ から $A$ の点 $x_{n}$ を選べます。すると $d (x_{n}, a) < \frac{1}{n} \to 0$ です。逆に $A$ の点列が $a$ に収束すれば、どの開球にもその点列の点が入ります。したがって「 $a \in A$ $⟺$ $a$ に収束する $A$ の点列がある」が成り立ちます。集積点についても、 $A ∖ {a}$ の点列で同じことが言えます。この言い換えから $A = A \cup A^{'}$ が成り立ち、 $A$ の点は集積点か孤立点のどちらか一方になります。たとえば ${\frac{1}{n} ∣ n \in Z_{> 0}}$ では $\frac{1}{n} \to 0$ なので $0$ が集積点です。

手順

近さの測り方を決める。距離空間なら開球 $B (a, r)$ を使う（ $R$ なら $(a - r, a + r)$ 、 $R^{2}$ なら円の内部）。有限位相空間なら「 $a$ を含む開集合」を使う。
内部を求める。各点 $a$ について、 $B (a, r) \subset A$ となる $r > 0$ があるかを調べる。有限位相空間では、 $A^{\circ}$ は $A$ に含まれる開集合すべての和集合になる。
閉包と集積点を求める。 $A$ の点列（集積点なら $A ∖ {a}$ の点列）で $a$ に収束するものがあれば、 $a \in A$ （または $a \in A^{'}$ ）である。逆に、ある $r$ で $B (a, r) \cap A = \emptyset$ となる点は閉包に入らない。有限位相空間では $A = X ∖ (X ∖ A)^{\circ}$ を使う。
孤立点を求める。孤立点全体は $A ∖ A^{'}$ である。また $A = A \cup A^{'}$ を検算に使う。
境界を $\partial A = A ∖ A^{\circ}$ で求める。
必要なら開集合・閉集合を判定する。 $A = A^{\circ}$ なら開集合、 $A = A$ （すなわち $A^{'} \subset A$ ）なら閉集合である。

例題

$R$ （通常の距離 $d (x, y) = ∣ x - y ∣$ ）の部分集合 $A = [0, 1) \cup {2}$ の境界 $\partial A$ を求めよ。

例題の解答

【手順1】開球は $B (a, r) = (a - r, a + r)$ である。

【手順2】内部を求める。
・ $0 < a < 1$ のとき、 $r = min (a, 1 - a) > 0$ とすれば $B (a, r) \subset (0, 1) \subset A$ なので、 $a$ は内点である。
・ $a = 0$ のとき、どの $r > 0$ でも $- \frac{r}{2} \in B (0, r)$ かつ $- \frac{r}{2} \in / A$ なので、内点ではない。
・ $a = 2$ のとき、 $2 + \frac{r}{2} \in B (2, r)$ かつ $2 + \frac{r}{2} \in / A$ なので、内点ではない。
よって $A^{\circ} = (0, 1)$ である。

【手順3】閉包を求める。
・ $A$ の点は閉包に入る。
・ $1$ については、 $x_{n} = 1 - \frac{1}{n} \in A$ （ $n \geq 2$ ）が $1$ に収束するので、 $1 \in A$ である。
・それ以外の点 $b$ について、 $b < 0$ なら $r = - b$ 、 $1 < b < 2$ なら $r = min (b - 1, 2 - b)$ 、 $b > 2$ なら $r = b - 2$ とすると、 $B (b, r) \cap A = \emptyset$ となる。よって $b$ は閉包に入らない。
したがって $A = [0, 1] \cup {2}$ である。

【手順4】 $B (2, 1) \cap A = {2}$ なので、 $2$ は孤立点である。 $[0, 1]$ の各点には、 $a$ と異なる $A$ の点列（ $0$ なら $\frac{1}{n}$ 、 $0 < a \leq 1$ なら $a - \frac{a}{n + 1}$ など）が収束するので、 $A^{'} = [0, 1]$ である。実際 $A \cup A^{'} = [0, 1] \cup {2} = A$ となり、手順3と合う。

【手順5】 $\partial A = A ∖ A^{\circ} = ([0, 1] \cup {2}) ∖ (0, 1) = {0, 1, 2}$ である。

（参考・手順6） $0 \in A$ は内点でないので、 $A$ は開集合ではない。 $1 \in A$ だが $1 \in / A$ なので、閉集合でもない。

答え: ${0, 1, 2}$

よくある誤り

境界は $A$ に含まれると思い込む誤り。正しくは、境界の点は $A$ に属するとは限らない。たとえば $A = (0, 1)$ では $\partial A = {0, 1}$ で、どちらも $A$ の点ではない。
$A$ の点はすべて集積点だとしてしまう誤り。正しくは、 $A = {\frac{1}{n} ∣ n \in Z_{> 0}}$ の点 $1$ は $B (1, \frac{1}{2}) \cap A = {1}$ なので孤立点である。集積点全体は $A^{'} = {0}$ で、 $0 \in / A$ である。
開集合でなければ閉集合だ、と決めつける誤り。正しくは、 $[0, 1)$ は開集合でも閉集合でもない。また $\emptyset$ と $R$ は開集合でも閉集合でもある。
どの空間で考えているかを無視する誤り。 $R$ の中では $(0, 1)$ の内部は $(0, 1)$ である。しかし $R^{2}$ の線分 $(0, 1) \times {0}$ の内部は $\emptyset$ になる（どの円板も線分からはみ出す）。このとき境界は $[0, 1] \times {0}$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

基数の演算（大学数学集合と位相）
連結性と連結成分の個数（大学数学集合と位相）
コンパクト性の判定（大学数学集合と位相）