集合と位相の問題

1. $A$ の形. $\sin (\pi x)=0⟺x\in \mathbb{Z}$ であり、$\sin (\pi x)$ は $m<x<m+1$（$m$ は整数）で符号 $(-1{)}^m$ をとる。したがって $\sin (\pi x)\sin (\pi y)>0$ となるのは、ちょうど開正方形
$$Q_{m,n}=(m,m+1)\times (n,n+1)(m,n\in \mathbb{Z},m+n\text{が偶数})$$
のいずれかに点が属するときである。円板を $D=\{x^2+y^2\le 16\}$ とすると $A={\bigcup }_{m+n\text{偶数}}(Q_{m,n}\cap D)$ となる。各 $Q_{m,n}\cap D$ は凸集合どうしの共通部分なので凸であり、空でなければ連結である。

2. $D$ と交わる正方形の数え上げ. $m,n\ge 0$ のとき、$Q_{m,n}$ の点 $(x,y)$ は $x>m,y>n$ を満たすので $x^2+y^2>m^2+n^2$ である。また $(m+\epsilon ,n+\epsilon )$（$\epsilon >0$ は十分小）は $Q_{m,n}$ に属し、原点からの距離はいくらでも $\sqrt{m^2+n^2}$ に近づく。よって
$$Q_{m,n}\cap D\ne \varnothing ⟺m^2+n^2<16$$
である。これを満たす $(m,n)$（$m,n\ge 0$）は次の $15$ 個である。
- $m=0$：$n=0,1,2,3$
- $m=1$：$n=0,1,2,3$
- $m=2$：$n=0,1,2,3$
- $m=3$：$n=0,1,2$

このうち $m+n$ が偶数のものは $(0,0),(0,2),(1,1),(1,3),(2,0),(2,2),(3,1)$ の $7$ 個、奇数のものは $8$ 個である。

他の象限の正方形は鏡映で対応させる。
- 第 $3$ 象限の $Q_{-m-1,-n-1}$ は $(-m-1)+(-n-1)=-(m+n)-2$ なので偶奇が変わらず、正の部分は $7$ 個である。
- 第 $2$ 象限の $Q_{-m-1,n}$ と第 $4$ 象限の $Q_{m,-n-1}$ は偶奇が反転するので、それぞれ $8$ 個である。

よって $A$ を構成する空でない片 $Q_{m,n}\cap D$ は $7+7+8+8=30$ 個ある。

3. 直線 $L$ の影響. $L$ は開正方形のうち対角の $Q_{k,k}$ の内部と、格子点 $(k,k)$ だけを通る。$Q_{k,k}$ では $k+k$ が偶数なので、これらはすべて $A$ の片である。$D$ と交わるのは $k^2+k^2<16$ を満たす $k=0,1,2$ と、その鏡映の $k=-1,-2,-3$ の計 $6$ 個である（$k=3$ では $18>16$）。$L$ は連結で、これら $6$ 個の片と交わるので、$L$ とこの $6$ 個の片の和集合は $1$ つの連結集合になる。

4. 残りの片が他から切り離されていること. 残りの片 $P=Q_{m,n}\cap D$（$m\ne n$）について考える。
- $L$ は $Q_{m,n}$ と交わらないので $P=X\cap Q_{m,n}$ となり、$P$ は $X$ で開集合である。
- $Q_{m,n}$ の閉包の境界は直線 $x\in \mathbb{Z}$ または $y\in \mathbb{Z}$ の上にあり、そこでは $\sin (\pi x)\sin (\pi y)=0$ なので $A$ の点はない。
- $L$ がこの境界と共有しうるのは格子点 $(k,k)$ だけである。$(k,k)$ を頂点にもつ正方形は $Q_{k-1,k-1},Q_{k,k-1},Q_{k-1,k},Q_{k,k}$ で、そのうち正の部分（$m+n$ 偶数）は対角の $2$ つだけである。よって $m\ne n$ の正の片の境界に $L$ は触れない。
- したがって $P=X\cap \overline{Q_{m,n}}$ となり、$P$ は $X$ で閉集合でもある。

連結な $P$ が $X$ で開かつ閉なので、$P$ はそれ自身 $1$ つの連結成分である。同様に、$L$ と対角の $6$ 片の和集合 $C$ も、$X$ からこれら $24$ 個の開かつ閉な片を除いた残りなので $X$ で開かつ閉であり、連結成分になる。

5. 結論. 連結成分の個数は
$$(30-6)+1=25$$
である。

$A$ は閉円板 $x^2+y^2\le 16$ と、$\sin (\pi x)\sin (\pi y)>0$ を満たす領域の共通部分である。

$A$ の連結成分。 開正方形 $(m,m+1)\times (n,n+1)$ では $\sin (\pi x)$ の符号が $(-1{)}^m$、$\sin (\pi y)$ の符号が $(-1{)}^n$ になる。よって $m+n$ が偶数の開正方形が $A$ に含まれる。格子線上では $\sin (\pi x)\sin (\pi y)=0$ なので、この正方形どうしは角で接していても、角は $A$ に入らない。各 $m+n$ 偶数の開正方形と円板の共通部分は凸集合なので連結である。これが空でない条件は、原点に最も近い角までの距離が $4$ 未満であること（円板は閉だが、距離がちょうど $4$ の点は角であり開正方形に属さない）。

条件を満たす正方形の数え上げ。 各正方形について、原点に最も近い角の座標の絶対値を $(a,b)$ とおく（$a,b$ は 0 以上の整数）。条件は $a^2+b^2<16$ である。これを満たす組は
- $a=0,1,2$ のとき $b=0,1,2,3$（各 4 個）
- $a=3$ のとき $b=0,1,2$（3 個）

で、合計 15 個。

第 1 象限では $m=a,n=b$ なので $m+n$ が偶数になる条件は $a+b$ 偶数である。第 3 象限では $m=-a-1,n=-b-1$ なので、この条件はやはり $a+b$ 偶数である。第 2・4 象限では片方だけ反転するので、条件は $a+b$ 奇数である。
- $a+b$ 偶数の組は $(0,0),(0,2),(1,1),(1,3),(2,0),(2,2),(3,1)$ の 7 個。
- $a+b$ 奇数の組は $15-7=8$ 個。

よって正方形の個数は $7+7+8+8=30$ 個である。

$L$ との関係。 直線 $L:y=x$ は全体が $X$ に含まれ、連結である。$L$ が通る開正方形は $(m,m)$ 型の対角の正方形で、$m+n=2m$ は偶数なので $A$ に含まれる。これらは $L$ とつながる。

対角以外の正方形 $(m,n)$ の閉包が $L$ と交わるのは $|m-n|=1$ で、角の 1 点で接するときだけである。このとき $m+n$ は奇数なので $A$ に含まれない。したがって、対角以外の正方形は $L$ と交わらない。また、角の点 $(k,k)$ に接する $m+n$ 偶数の正方形は対角のものだけである。

対角の正方形は $a=b$ かつ $2a^2<16$ より、第 1 象限に $a=0,1,2$ の 3 個、第 3 象限にも 3 個で、合計 6 個。これらはすべて $L$ を含む成分に属する。

残りの $30-6=24$ 個の正方形は、$X$ の他の部分と境界で接しない。したがって、それぞれが独立の連結成分になる。

結論。 連結成分は、$L$ を含むもの 1 個と残りの 24 個で、合計 $1+24=25$ 個。