集合と位相の問題

$f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ とおく。$(x,y)\in X$ となる $y$ が存在するのは $f(x)\geqq 0$ のときで、そのとき $y=\pm \sqrt{f(x)}$ である。

$f(x)\geqq 0$ となる $x$ の範囲. $f$ は根 $0,1,2,3,4,5$（すべて単根）をもつ $6$ 次式で、最高次の係数は正なので、符号は根を通るたびに入れ替わり、
$$f(x)\geqq 0⟺x\in I_1\cup I_2\cup I_3\cup I_4,I_1=(-\infty ,0],I_2=[1,2],I_3=[3,4],I_4=[5,\infty ).$$

各部分の連結性. $X_k=X\cap (I_k\times \mathbb{R})$ とおく。$X_k$ は、$I_k$ 上の $2$ つの連続関数のグラフ
$${\Gamma }_k^{+}=\{(x,\sqrt{f(x)})\mid x\in I_k\},{\Gamma }_k^{-}=\{(x,-\sqrt{f(x)})\mid x\in I_k\}$$
の和集合である。区間上の連続関数のグラフは区間の連続像なので連結であり、${\Gamma }_k^{+}$ と ${\Gamma }_k^{-}$ は $f(x)=0$ となる $I_k$ の端点（$y=0$ の点）を共有する。共通点をもつ連結集合の和は連結なので、各 $X_k$ は連結である。

互いに分離されていること. $X_1,X_2,X_3,X_4$ は、それぞれ開集合 $\{x<\frac{1}{2}\}$, $\{\frac{1}{2}<x<\frac{5}{2}\}$, $\{\frac{5}{2}<x<\frac{9}{2}\}$, $\{x>\frac{9}{2}\}$（${\mathbb{R}}^2$ の開集合と $X$ の共通部分）に含まれ、$X$ はこれらの互いに素な相対開集合に分かれる。したがって $X$ の連結成分はちょうど $X_1,X_2,X_3,X_4$ の $4$ 個である。

コンパクト性. ${\mathbb{R}}^2$ の部分集合がコンパクトであることは、有界閉集合であることと同値である（ハイネ・ボレルの定理）。
- $X$ は連続関数 $(x,y)\mapsto y^2-f(x)$ の零点集合なので ${\mathbb{R}}^2$ の閉集合であり、各 $X_k$ は $X$ と閉集合 $I_k\times \mathbb{R}$ の共通部分なので閉集合である。
- $X_2$, $X_3$ は $x$ が有界区間を動き、$|y|=\sqrt{f(x)}$ も連続関数の最大値で抑えられるので有界である。よってコンパクトである。
- $X_1$, $X_4$ は $x$ がいくらでも大きく（または小さく）なれるので有界でなく、コンパクトでない。

よって、コンパクトな連結成分は $X_2$, $X_3$ の $2$ 個である。

$f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ とおく。$X$ は $y^2=f(x)$ を満たす点の集合なので、$f(x)\ge 0$ となる $x$ にのみ点がある。$f$ は 6 次で、根 $0,1,2,3,4,5$ はすべて単根、最高次係数は正。$x>5$ で $f>0$ であり、単根を越えるたびに符号が変わるので
- $x<0$: $f>0$
- $0<x<1$: $f<0$
- $1<x<2$: $f>0$
- $2<x<3$: $f<0$
- $3<x<4$: $f>0$
- $4<x<5$: $f<0$
- $x>5$: $f>0$

よって $f\ge 0$ となる $x$ の範囲は $(-\infty ,0]\cup [1,2]\cup [3,4]\cup [5,\infty )$。

• $x\in [1,2]$: $y=\pm \sqrt{f(x)}$ は両端 $x=1,2$（$y=0$）でつながる。単根なので 1 つの閉曲線（卵形線）になり、連結かつ有界閉集合なのでコンパクト。
• $x\in [3,4]$: 同様に 1 つの卵形線で、コンパクト。
• $x\in (-\infty ,0]$: $y=\pm \sqrt{f(x)}$ が $x=0$ でつながった 1 つの連結な曲線で、$x\to -\infty$ で非有界なのでコンパクトではない。
• $x\in [5,\infty )$: 同様に非有界な 1 つの連結成分で、コンパクトではない。

これらは $x$ の範囲が互いに離れているので別々の連結成分であり、連結成分は全部で 4 個。コンパクトなものは卵形線の 2 個。

検算: 非有界な 2 成分は $|x|\to \infty$ で閉集合として有界でないため、ハイネ・ボレルの定理よりコンパクトでない。有界な 2 成分は ${\mathbb{R}}^2$ の閉集合（$X$ は閉集合）で有界なのでコンパクト。したがって答えは 2。