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集合の直径

集合の直径 $\mathrm{diam}A=\sup \{d(p,q)\mid p,q\in A\}$ を、2 点についての最大値の問題に直して求められる。対象は、通常の距離に加え、「川の距離」$d(p,q)=|y_1|+|x_1-x_2|+|y_2|$（$x_1\ne x_2$）での楕円板の直径のような、場合分けのある距離を含む

前提

• 距離空間と開球 （大学数学 集合と位相）
• 区間での最大・最小 （数学II 微分法と積分法）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 距離 $d(p,q)$ を $p=(x_1,y_1),q=(x_2,y_2)$ などの座標で具体的に書き、式が変わる条件（例: $x_1=x_2$ か $x_1\ne x_2$ か）があれば場合分けする。

2. 各場合で、三角不等式 $|a-b|\le |a|+|b|$ などを使い、$d(p,q)\le f(p)+f(q)$ のような 1 点ずつの量の和で上からおさえる。

3. 1 点の関数 $f$ の $A$ 上での最大値を、境界の媒介変数表示（例: $x=2\cos t,y=\sin t$）と区間での最大・最小（端と極値の比較）で求め、その場合の上界 $M_i$ を得る。

4. 手順 2・3 で使った不等式の等号が同時に成り立つ $p,q\in A$（その場合の条件も満たすもの）を具体的に見つけ、$d(p,q)=M_i$ を確認する。最大値がとれない（開集合など）ときは、$M_i$ にいくらでも近い点の組を示す。

5. すべての場合の値を比べ、最も大きいものを $\mathrm{diam}A$ とする。

例題

よくある誤り

• 各項を別々に最大にして足してしまう誤り。例題で $|x_1-x_2|\le 4$、$|y_1|\le 1$、$|y_2|\le 1$ から $\mathrm{diam}A=6$ とするのは誤りで、これらの等号（$x$ 座標が $\pm 2$ なら $y=0$）は同時に成り立たない。正しくは等号が同時に成り立つ点の組まで確かめて $2\sqrt{5}$。

• 場合分けを忘れて、$x_1=x_2$ のときにも $|y_1|+|x_1-x_2|+|y_2|$ を使ってしまう誤り。例えば線分 $\{0\}\times [0,1]$ では $(0,0),(0,1)$ 以外にも $(0,1),(0,1)$ で $2$ と計算してしまい直径を $2$ とするが、同じ点の距離は $0$ であり、正しくは $d=|y_1-y_2|$ なので直径は $1$。

• 開球の直径は必ず $2r$ だと思ってしまう誤り。三角不等式から言えるのは $\mathrm{diam}B(a,r)\le 2r$ だけで、たとえば 2 点以上の集合上の離散距離では $B(a,2)$ は全体で直径は $1(<4)$。

• 最大値がとれないと直径も求まらない、または上界より小さいと考えてしまう誤り。開円板 $x^2+y^2<1$（ユークリッド距離）では $d(p,q)<2$ で $2$ はとれないが、$(\pm (1-\epsilon ),0)$ で距離 $2-2\epsilon$ がいくらでも $2$ に近づくので、$\sup$ の定義から $\mathrm{diam}=2$。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に、$x,y\in \mathbb{R}$ に対して
  $$d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$$
  で定まる距離 $d$ を入れた距離空間 $(\mathbb{R},d)$ を考える。ここで $\arctan$ は値域を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ とする $\tan$ の逆関数である。部分集合 $A=[-1,\infty )$ の直径
  $$\mathrm{diam}A=\sup \{d(p,q)\mid p,q\in A\}$$
  を求めよ。

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に、距離
  $$d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$$
  を入れた距離空間 $(\mathbb{R},d)$ を考える。ここで $\arctan$ は値を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ にとる逆正接関数である。部分集合
  $$A=\{x\in \mathbb{R}\mid x\geqq -1\}$$
  の直径
  $$\mathrm{diam}A=\sup \{d(p,q)\mid p,q\in A\}$$
  を求めよ。

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に、$x,y\in \mathbb{R}$ に対して
  $$d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$$
  で定まる距離 $d$ を入れた距離空間 $(\mathbb{R},d)$ を考える。ただし $\arctan x$ は $-\frac{\pi }{2}<\arctan x<\frac{\pi }{2}$ の値をとるものとする。部分集合 $A=[-1,\sqrt{3}]$ の直径
  $$\mathrm{diam}A=\sup \{d(p,q)\mid p,q\in A\}$$
  を求めよ。

この技能を使う問題

• 難易度 2（教科書の演習問題レベル）

  平面 ${\mathbb{R}}^2$ に、$p=(x_1,y_1)$, $q=(x_2,y_2)$ に対して
  $$d_1(p,q)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$$
  で定まる距離 $d_1$ を入れた距離空間 $({\mathbb{R}}^2,d_1)$ を考える。部分集合
  $$S=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2\le 1\}$$
  の $d_1$ に関する直径
  $$\mathrm{diam}(S)=\sup \{d_1(p,q)\mid p,q\in S\}$$
  を求めよ。

• 難易度 4（大学院入試の標準レベル）

  平面 ${\mathbb{R}}^2$ 上の関数 $d:{\mathbb{R}}^2\times {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ を、$p=(x_1,y_1)$, $q=(x_2,y_2)$ に対して
  $$d(p,q)=\{\begin{array}{ll}|y_1-y_2|& (x_1=x_2)\\ |y_1|+|x_1-x_2|+|y_2|& (x_1\ne x_2)\end{array}$$
  で定める。$d$ は ${\mathbb{R}}^2$ 上の距離である（$x$ 軸を「川」とみなし、異なる縦の線の間を移動するには一度 $x$ 軸まで戻る必要がある、という距離である）。

  楕円板
  $$E=\left\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|\frac{x^2}{4}+y^2\le 1\right\}$$
  の、距離 $d$ に関する直径
  $${\mathrm{diam}}_{d}E=\sup \{d(p,q)\mid p,q\in E\}$$
  を求めよ。

• 難易度 4（大学院入試の標準レベル）

  閉区間 $[0,2]$ 上の実数値連続関数全体の集合 $C[0,2]$ に、距離
  $$d(f,g)={\int }_0^2|f(x)-g(x)|dx$$
  を入れた距離空間を考える。その部分集合
  $$X=\left\{f\in C[0,2]|\text{すべての }x,y\in [0,2]\text{ に対して }|f(x)-f(y)|\le 3|x-y|,{\int }_0^{2}f(x)dx=0\right\}$$
  の直径
  $$\mathrm{diam}X=\underset{f,g\in X}{\sup }d(f,g)$$
  を求めよ。

この技能の次に学べること

• コンパクト性の判定 （大学数学 集合と位相）