集合と位相の問題

1. 差の関数への言い換え

$f,g\in X$ のとき $h=f-g$ は
$$|h(x)-h(y)|\le |f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|\le 6|x-y|,{\int }_0^{2}hdx=0$$
を満たす。逆に、$|h(x)-h(y)|\le 6|x-y|$ かつ ${\int }_0^{2}hdx=0$ を満たす連続関数 $h$ に対し、$f=\frac{1}{2}h$, $g=-\frac{1}{2}h$ はともに $X$ に属し $f-g=h$ である。したがって
$$\mathrm{diam}X=\sup \left\{{\int }_0^2|h|dx|h\text{ は }6\text{-リプシッツ},{\int }_0^{2}hdx=0\right\}.$$

2. 上からの評価

$h$ をそのような関数とし、$h^{+}=\max (h,0)$, $h^{-}=\max (-h,0)$ とおく。${\int }_0^{2}h=0$ より ${\int }_0^2{h}^{+}={\int }_0^2{h}^{-}$ なので
$${\int }_0^2|h|dx=2{\int }_0^2{h}^{+}dx=2{\int }_0^2{h}^{-}dx.(1)$$
$h\equiv 0$ なら $\int |h|=0$ なので、$h\not\equiv 0$ とする。このとき平均が $0$ なので $h$ は正の値も負の値もとり、中間値の定理から零点をもつ。

$A=|\{x\mid h(x)>0\}|$, $B=|\{x\mid h(x)<0\}|$（$|\cdot |$ は長さ（ルベーグ測度））とおくと、$A+B\le 2$ である。

$v=h^{+}$ は $6$-リプシッツで零点をもつ。$t>0$ に対し、$v(x_0)>t$ となる点 $x_0$ があれば、$x_0$ から最も近い $v$ の零点まで進む区間上で $v$ は $t$ より大きい値から $0$ まで連続に減り、傾きの絶対値は $6$ 以下なので、$0<v\le t$ となる部分の長さは $t/6$ 以上ある。よって
$$|\{v>t\}|\le |\{v>0\}|-\frac{t}{6}=A-\frac{t}{6}$$
（右辺が負になる $t$ では $\{v>t\}$ は空）。したがって
$${\int }_0^2{h}^{+}dx={\int }_0^{\infty }|\{v>t\}|dt\le {\int }_0^{6A}\left(A-\frac{t}{6}\right)dt=3A^2.$$
同様に ${\int }_0^2{h}^{-}dx\le 3B^2$。$(1)$ より
$${\int }_0^2|h|dx\le 2\min (3A^2,3B^2)=6\min (A,B{)}^2\le 6{\left(\frac{A+B}{2}\right)}^2\le 6\cdot 1^2=6.$$

3. 等号が成り立つ例

$f(x)=3(x-1)$, $g(x)=-3(x-1)$ とおくと、どちらも $3$-リプシッツで ${\int }_0^{2}f={\int }_0^{2}g=0$ なので $f,g\in X$。
$$d(f,g)={\int }_0^{2}6|x-1|dx=6\left({\int }_0^1(1-x)dx+{\int }_1^2(x-1)dx\right)=6\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)=6.$$

以上より $\mathrm{diam}X=6$ である。

$M={\sup }_{f\in X}{\int }_0^2|f|dx$ とおく。$f\in X$ なら $-f\in X$ である。よって $d(f,g)\le \int |f|+\int |g|\le 2M$、かつ $g=-f$ とすれば $d(f,-f)=2\int |f|$ なので $\mathrm{diam}X=2M$。
$M$ の計算: $f$ は連続で ${\int }_0^{2}f=0$ だから $\int |f|=2\int f^{+}=2\int f^{-}$。$f$ は 3-リプシッツ。
(上界) 連続関数 $f$ は零点 $z$ をもち、$|f(x)|\le 3|x-z|$。$f$ が符号を 1 回だけ変える場合（$f>0$ が $[0,c]$、$f<0$ が $[c,2]$、または逆）を考える。$c\le 1$ とすると、正の部分の面積は高々 ${\int }_0^{c}3(c-x)dx=\frac{3}{2}{c}^2$ なので $\int |f|=2\int f^{+}\le 3c^2\le 3$。$c\ge 1$ のときは負の部分の面積で同様に $\int |f|=2\int f^{-}\le 3(2-c{)}^2\le 3$。符号が何度も変わる場合（例えば中央に正の山、両端に負、など）も、正の山の面積が底辺 $\ell$ に対して高々 $\frac{3}{4}{\ell }^2$、両端の負の部分が高々 $\frac{3}{2}(a^2+d^2)$（$a+\ell +d=2$）で、$\min$ の最大は約 $1.03<\frac{3}{2}$ となり、$\int |f|\le 3$ を超えない。
(達成) $f(x)=3(x-1)$ は $3$-リプシッツで ${\int }_0^{2}f=0$、${\int }_0^2|f|=2{\int }_0^{1}3tdt=3$。よって $M=3$。
$\mathrm{diam}X=2M=6$。検算: $f=3(x-1)$, $g=-3(x-1)$ のとき $d(f,g)={\int }_0^{2}6|x-1|dx=6$。