集合と位相の問題

$p=(x_1,y_1)$, $q=(x_2,y_2)\in E$ とし、$x$ 座標が等しいかどうかで場合を分ける。

(1) $x_1=x_2$ のとき

$E$ の点は $y^2\le 1-\frac{x^2}{4}\le 1$ を満たすので $|y_1|,|y_2|\le 1$ である。よって
$$d(p,q)=|y_1-y_2|\le |y_1|+|y_2|\le 2.$$

(2) $x_1\ne x_2$ のとき

三角不等式 $|x_1-x_2|\le |x_1|+|x_2|$ より
$$d(p,q)=|y_1|+|x_1-x_2|+|y_2|\le (|x_1|+|y_1|)+(|x_2|+|y_2|).$$
そこで、$E$ 上での $|x|+|y|$ の最大値を求める。$u=\frac{|x|}{2}$, $v=|y|$ とおくと $u^2+v^2=\frac{x^2}{4}+y^2\le 1$ であり、コーシー・シュワルツの不等式より
$$|x|+|y|=2u+1\cdot v\le \sqrt{2^2+1^2}\sqrt{u^2+v^2}\le \sqrt{5}.$$
等号は $u^2+v^2=1$ かつ $(u,v)$ が $(2,1)$ と同じ向きのとき、すなわち $u=\frac{2}{\sqrt{5}}$, $v=\frac{1}{\sqrt{5}}$（$|x|=\frac{4}{\sqrt{5}}$, $|y|=\frac{1}{\sqrt{5}}$）のときに成り立つ。実際 $\frac{1}{4}\cdot \frac{16}{5}+\frac{1}{5}=1$ なので、この点は $E$ に属する。

したがって $x_1\ne x_2$ のとき $d(p,q)\le \sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}$ である。

(3) 上限が達成されること

$$p=\left(\frac{4}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right),q=\left(-\frac{4}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$$
とすると、$p,q\in E$ で $x$ 座標が異なり、
$$d(p,q)=\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{8}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}.$$
（$x_1,x_2$ の符号が逆なので $|x_1-x_2|=|x_1|+|x_2|$ となり、(2) の三角不等式でも等号が成り立っている。）

(4) まとめ

(1) の場合は $d(p,q)\le 2$、(2) の場合は $d(p,q)\le 2\sqrt{5}$ で、$2<2\sqrt{5}$ である。さらに (3) で $2\sqrt{5}$ が実際にとられるので、
$${\mathrm{diam}}_{d}E=2\sqrt{5}.$$

答えは $2\sqrt{5}$ である。

$x_1=x_2$ のとき $d(p,q)=|y_1-y_2|$ で、$E$ の縦の弦の長さは高々 $2$（$x=0$ のとき $y\in [-1,1]$）なので $d\le 2$。

$x_1\ne x_2$ のとき $d(p,q)=|y_1|+|y_2|+|x_1-x_2|\le (|x_1|+|y_1|)+(|x_2|+|y_2|)$（三角不等式 $|x_1-x_2|\le |x_1|+|x_2|$）。

$g(x,y)=|x|+|y|$ の $E$ 上での最大値を求める。最大値は境界上でとり、$x=2\cos t,y=\sin t$（$0\le t\le \pi /2$、他の象限は対称）とすると $g=2\cos t+\sin t\le \sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$（コーシー・シュワルツ）。等号は $(\cos t,\sin t)=(2/\sqrt{5},1/\sqrt{5})$ のとき、すなわち $(x,y)=(4/\sqrt{5},1/\sqrt{5})$。

よって $d(p,q)\le 2\sqrt{5}$。

等号の達成: $p=(4/\sqrt{5},1/\sqrt{5})$, $q=(-4/\sqrt{5},1/\sqrt{5})$ は $E$ の境界上にある（$\frac{16/5}{4}+\frac{1}{5}=1$）。$x_1\ne x_2$ で $d(p,q)=\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{8}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot 1$ ではなく、$|y_1|+|x_1-x_2|+|y_2|=\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{8}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$。

検算: $2\sqrt{5}\approx 4.47>2$ なので、同じ $x$ の場合より大きい。したがって ${\mathrm{diam}}_{d}E=2\sqrt{5}$（最大値として達成される）。