集合と位相の問題

(1) $X$ の元の分類

$A\in X$ の最小多項式 ${\mu }_A(x)$ は $x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$ を割り切る実係数のモニック多項式で、次数は $2$ 以下である（ケーリー・ハミルトンの定理より $A$ の固有多項式で $A$ は消えるから）。そのようなものは
$$x-1,x+1,(x-1)(x+1)=x^2-1,x^2+1$$
の $4$ つである。

• ${\mu }_A=x-1$ なら $A=E$
• ${\mu }_A=x+1$ なら $A=-E$
• ${\mu }_A=x^2-1$ なら、次数 $2$ の最小多項式は固有多項式に一致するので $\mathrm{tr}A=0$, $\det A=-1$
• ${\mu }_A=x^2+1$ なら同様に $\mathrm{tr}A=0$, $\det A=1$

逆に $\mathrm{tr}A=0$, $\det A=-1$ ならケーリー・ハミルトンの定理より $A^2=E$、$\mathrm{tr}A=0$, $\det A=1$ なら $A^2=-E$ で、どちらも $A^4=E$ を満たす。よって
$$X=\{E\}\cup \{-E\}\cup X_{-}\cup X_{+},$$
$$X_{-}=\{A\mid \mathrm{tr}A=0,\det A=-1\},X_{+}=\{A\mid \mathrm{tr}A=0,\det A=1\}$$
と互いに交わらない $4$ つの集合に分かれる。

(2) それぞれの形

$\mathrm{tr}A=0$ の行列は $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a\end{array}\right)$ と書ける。$u=\frac{b+c}{2}$, $v=\frac{b-c}{2}$ とおくと $bc=u^2-v^2$ なので
$$\det A=-a^2-bc=-a^2-u^2+v^2.$$
$(a,b,c)\mapsto (a,u,v)$ は線形な同相写像である。

• $X_{-}$: $\det A=-1⟺a^2+u^2-v^2=1$。これは一葉双曲面で、$(t,\theta )\mapsto \left(\sqrt{1+t^2}\cos \theta ,\sqrt{1+t^2}\sin \theta ,t\right)$ による連結な集合 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ の連続像なので連結である。
• $X_{+}$: $\det A=1⟺v^2=1+a^2+u^2$。これは二葉双曲面で、$v\ge 1$ の部分 $X_{+}^{(+)}$ と $v\le -1$ の部分 $X_{+}^{(-)}$ に分かれる。それぞれは $v=\pm \sqrt{1+a^2+u^2}$ という ${\mathbb{R}}^2$ 上の連続関数のグラフなので、${\mathbb{R}}^2$ と同相で連結である。

(3) 互いに分離されていること

$X$ 上の連続関数 $A\mapsto (\mathrm{tr}A,\det A)$ は
$$\{E\}\text{ で }(2,1),\{-E\}\text{ で }(-2,1),X_{-}\text{ で }(0,-1),X_{+}\text{ で }(0,1)$$
という有限個の値しかとらないので、これらの $4$ つの集合はそれぞれ $X$ の開かつ閉な部分集合である。さらに $X_{+}$ 上で連続関数 $v=\frac{b-c}{2}$ は $|v|\ge 1$ を満たし $0$ をとらないので、$X_{+}^{(+)}=\{v>0\}$ と $X_{+}^{(-)}=\{v<0\}$ はどちらも $X_{+}$ の開かつ閉な部分集合である。

よって $X$ は、互いに交わらず、それぞれが開かつ閉で連結な $5$ つの集合
$$\{E\},\{-E\},X_{-},X_{+}^{(+)},X_{+}^{(-)}$$
の和集合である。開かつ閉で連結な集合は連結成分になるので、これらがちょうど $X$ の連結成分である。

（$X_{+}^{(+)}$ には回転行列 $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ が、$X_{+}^{(-)}$ には $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ が属しており、$\pm 90^{\circ }$ 回転の「向き」が $2$ つの成分を分けている。）

答えは $5$ である。

$A^4=E$ より $A$ の最小多項式は $x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$ の約数で、重根を持たないので $A$ は $\mathbb{C}$ 上対角化可能。固有値は $\{1,-1,i,-i\}$ のうち、実行列なので $i,-i$ は対で現れる。$2$ 次なので固有値の組は次の 4 通り。

(1) $(1,1)$: 対角化可能なので $A=E$。1 点。
(2) $(-1,-1)$: $A=-E$。1 点。
(3) $(1,-1)$: $\mathrm{tr}A=0,\det A=-1$。$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a\end{array}\right)$, $a^2+bc=1$ で、この集合は ${\mathbb{R}}^3$ 内の 1 葉双曲面 $a^2+bc=1$（$b=u+v,c=u-v$ とすれば $a^2+u^2-v^2=1$）で連結。
(4) $(i,-i)$: $\mathrm{tr}A=0,\det A=1$。$a^2+bc=-1$、すなわち $a^2+u^2-v^2=-1$ は 2 葉双曲面で、$v^2=1+a^2+u^2\ge 1$ より $v\ge 1$ と $v\le -1$ の 2 つの連結成分（各成分は連結で、互いに素な閉集合）。

(1)〜(4) は固有値（トレースと行列式）で区別されるので互いに素で、(1), (2) は孤立点、(3) は閉かつ開（$\mathrm{tr}A,\det A$ が連続で値が離散的）、(4) は 2 成分。ゆえに連結成分の個数は $1+1+1+2=5$。

検算: (4) の 2 成分は $J=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ と $-J$ を含み、$b,c$ が同符号で $b>0$（$c>0$）か $b<0$（$c<0$）かで分かれる（$a^2+bc=-1$ より $bc<0$ となるので、実際は $b,c$ は異符号で、$b>0>c$ か $b<0<c$ で 2 成分）。いずれにせよ 2 成分。