集合と位相の問題

1. $X$ の言い換え

$xyz(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)\ne 0$ は
$$x\ne 0,y\ne 0,z\ne 0,|x|,|y|,|z|\text{ が互いに異なる}$$
と同値である（$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ なので $x^2\ne y^2⟺|x|\ne |y|$）。つまり $X$ は $9$ 枚の平面 $x=0,y=0,z=0,x=\pm y,y=\pm z,z=\pm x$ の和集合を ${\mathbb{R}}^3$ から除いた集合である。

2. 符号と大小関係による分割

$X$ の点 $(x,y,z)$ に対し、
- 符号の組 $(\mathrm{sgn}x,\mathrm{sgn}y,\mathrm{sgn}z)\in \{\pm 1{\}}^3$（$2^3=8$ 通り）
- $|x|,|y|,|z|$ の大小の順序（互いに異なるので $3!=6$ 通り）

を対応させる。この組 $(\epsilon ,\sigma )$ を $1$ つ固定した集合を $X_{\epsilon ,\sigma }$ とおくと、$X$ はこれら $8\times 6=48$ 個の集合の互いに交わらない和になる。

3. 各 $X_{\epsilon ,\sigma }$ は空でなく連結

例えば $\epsilon =(+,+,-)$, $\sigma$ が「$|x|<|y|<|z|$」なら
$$X_{\epsilon ,\sigma }=\{x>0,y>0,z<0,x<y,y<-z\}$$
のように、符号が決まると絶対値が $\pm x$ などの $1$ 次式になるので、$X_{\epsilon ,\sigma }$ は$1$ 次の狭義不等式の有限個の共通部分で表される。このような集合は凸集合（$2$ 点を結ぶ線分を含む）であり、凸集合は弧状連結なので連結である。また $(1,2,3)$ の座標の並べ替えと符号の付け替えでどの組 $(\epsilon ,\sigma )$ の点も作れるので、どれも空でない。

4. 異なる $X_{\epsilon ,\sigma }$ は異なる連結成分

$X$ 上で連続関数 $x,y,z,|x|-|y|,|y|-|z|,|z|-|x|$ はどれも $0$ にならない。$X$ の連結な部分集合 $C$ 上では、中間値の定理（連結集合の連続像は $\mathbb{R}$ の区間）により、これらの関数の符号は一定である。よって $C$ はただ $1$ つの $X_{\epsilon ,\sigma }$ に含まれる。

したがって、各 $X_{\epsilon ,\sigma }$ は連結であり、かつそれより大きい連結集合に含まれないので、$X$ の連結成分そのものである。

5. 結論

連結成分の個数は
$$2^3\times 3!=8\times 6=48.$$

$X$ は 9 枚の平面 $x=0,y=0,z=0,x=\pm y,y=\pm z,z=\pm x$ （すべて原点を通る）の補集合。これは $B_3$ 型の鏡映群（位数 $2^3\cdot 3!=48$）の鏡映超平面配置である。連結成分はこの配置の領域（chamber）で、有限鏡映群は領域に単純推移的に作用するので、領域の数は群の位数 $48$。
別解（直接数える）: 符号 $(x,y,z)$ の組が $2^3=8$ 通り。各象限（例えば $x,y,z>0$）では $x,y,z$ が相異なるので、大小関係で $3!=6$ 通りに分かれる。各領域は $x,y,z$ の符号と $|x|,|y|,|z|$ の大小で決まり、$|x|=|y|$ などが除かれる。この領域は凸（連結）であり、$8\times 6=48$ 個。
(領域が連結: 符号を固定し $|x|,|y|,|z|$ の大小を固定した集合は、不等式 $0<\pm x$ などの凸条件で定まる凸錐。)