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集合と位相の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学集合と位相

通常のユークリッド距離による位相を入れた平面 $R^{2}$ の部分集合
$X = {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} + y^{2} < 9, (y - x^{2} + 1) (y + x^{2} - 1) \neq = 0}$
を考える。 $X$ に $R^{2}$ からの相対位相を入れるとき、 $X$ の連結成分の個数を求めよ。

この問題で使うもの

連結性と連結成分の個数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（62 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

2 本の放物線 $y = x^{2} - 1$ , $y = 1 - x^{2}$ の上下関係（ $f_{1} = y - x^{2} + 1$ , $f_{2} = y + x^{2} - 1$ の符号）で $X$ を 4 つの部分に分けて考えよう。

ヒント 2

$f_{1}, f_{2}$ は連続なので、符号の組が違う点どうしは $X$ の中でつなげない。各部分が縦の切り口で見て何個のかたまりになるかを調べる。2 本の放物線は $(\pm 1, 0)$ で交わる。

ヒント 3

$f_{1} > 0, f_{2} > 0$ 、 $f_{1} < 0, f_{2} < 0$ 、 $f_{1} > 0, f_{2} < 0$ の部分はそれぞれ 1 つにつながっている。残りの $f_{1} < 0, f_{2} > 0$ の部分は $1 - x^{2} < y < x^{2} - 1$ で、これが空でない $x$ の範囲を考えよう。

答えと解説

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5

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解説を読む

$f_{1} (x, y) = y - (x^{2} - 1)$ 、 $f_{2} (x, y) = y - (1 - x^{2})$ とおく。 $X$ は開円板 $D = {x^{2} + y^{2} < 9}$ から 2 本の放物線 $P_{1} : y = x^{2} - 1$ と $P_{2} : y = 1 - x^{2}$ を除いた集合であり、 $X$ の点は $f_{1}, f_{2}$ の符号の組によって 4 種類に分けられる。 $f_{1}, f_{2}$ は連続なので、符号の組が異なる点どうしを $X$ の中の連続な道で結ぶことはできない（途中で $f_{1}$ または $f_{2}$ が $0$ になってしまうため）。したがって、各符号の組ごとの部分がいくつの連結成分からなるかを調べればよい。

まず交点を求める。 $P_{1}$ と $P_{2}$ は $x^{2} - 1 = 1 - x^{2}$ より $x = \pm 1$ 、すなわち $(\pm 1, 0)$ で交わる。 $P_{1}$ と円 $x^{2} + y^{2} = 9$ の交点は、 $x^{2} = y + 1$ を代入して $y^{2} + y - 8 = 0$ 、 $y = \frac{- 1 + 33}{2}$ （もう一方の解 $\frac{- 1 - 33}{2} < - 3$ は不適）で、 $x = \pm c$ （ $c = \frac{1 + 33}{2} \approx 1.84$ ）。対称性から $P_{2}$ と円の交点も $x = \pm c$ である。

各部分は ${(x, y) ∣ x \in I, g (x) < y < h (x)}$ （ $I$ は区間、 $g < h$ は $I$ 上の連続関数）の形にかけ、このような集合は各縦の切り口が区間で、それらが連続につながっているので連結である。

(1) $f_{1} > 0, f_{2} > 0$ （両方の放物線より上）: $max (x^{2} - 1, 1 - x^{2}) < y < 9 - x^{2}$ 、 $- c < x < c$ 。連結で $1$ 個。

(2) $f_{1} < 0, f_{2} < 0$ （両方より下）: $- 9 - x^{2} < y < min (x^{2} - 1, 1 - x^{2})$ 、 $- c < x < c$ 。連結で $1$ 個。

(3) $f_{1} > 0, f_{2} < 0$ : $x^{2} - 1 < y < 1 - x^{2}$ で、これは $- 1 < x < 1$ でのみ空でない。この範囲では $∣ y ∣ < 1$ なので自動的に $D$ に含まれる。連結で $1$ 個。

(4) $f_{1} < 0, f_{2} > 0$ : $1 - x^{2} < y < x^{2} - 1$ で、これは $∣ x ∣ > 1$ でのみ空でない。 $∣ x ∣ \leq 1$ ではこの部分の点は存在しないので、 $x > 1$ の部分と $x < - 1$ の部分に分かれ、両者は直線 $x = \pm 1$ を横切る道で結べない（ $x$ 座標が連続に動くと途中で $∣ x ∣ \leq 1$ を通るため）。 $x > 1$ の部分は $max (1 - x^{2}, - 9 - x^{2}) < y < min (x^{2} - 1, 9 - x^{2})$ 、 $1 < x < 3$ と表されて連結。 $x < - 1$ の部分も同様に連結。よって $2$ 個。

これらはいずれも $X$ の開集合で互いに交わらず、その和が $X$ なので、連結成分の個数は
$1 + 1 + 1 + 2 = 5$
である。

別解

$C_{1} : y = x^{2} - 1$ , $C_{2} : y = 1 - x^{2}$ とおくと、条件 $(y - x^{2} + 1) (y + x^{2} - 1) \neq = 0$ は $(x, y) \in / C_{1} \cup C_{2}$ と同値。よって $X$ は開円板 $D = {x^{2} + y^{2} < 9}$ から 2 つの放物線を除いた集合。\n\n交点: $x^{2} - 1 = 1 - x^{2}$ より $x = \pm 1$ 、 $y = 0$ 。点 $(\pm 1, 0)$ は $D$ 内にある。\n $C_{1}$ と $D$ の共通部分: $t = x^{2}$ として $t + (t - 1)^{2} < 9$ 、すなわち $t^{2} - t - 8 < 0$ 、 $t < \frac{1 + 33}{2}$ 。したがって $∣ x ∣ < 1.84$ 程度の範囲で、 $C_{1} \cap D$ は $D$ の境界から境界まで伸びる 1 本の弧。 $C_{2}$ も対称で同様。\n\n領域を直接数える。符号 $(y - (x^{2} - 1), y - (1 - x^{2}))$ で分類する。\n- 上側: $y > x^{2} - 1$ かつ $y > 1 - x^{2}$ 、すなわち $y > ∣ x^{2} - 1∣$ 。円板内で連結（ $x$ 軸に垂直に降ろす線分で結べる、上の点 $(0, 2)$ を含む）。\n- 下側: $y < - ∣ x^{2} - 1∣$ も同様に連結で 1 つ。\n- 中央のレンズ: $x^{2} - 1 < y < 1 - x^{2}$ ( $∣ x ∣ < 1$ )。連結で 1 つ。\n- 左: $x < - 1$ かつ $1 - x^{2} < y < x^{2} - 1$ 。連結で 1 つ。\n- 右: $x > 1$ で同様に 1 つ。\n\n左右・上下・レンズは、境界となる曲線 $C_{1}, C_{2}$ で隔てられ互いにつながらない。\n検算: 円板内の 2 本の弧が 2 点で交わるので、領域数は $1 + (弧の本数) + (交点数) = 1 + 2 + 2 = 5$ で一致する。\n\nよって連結成分は 5 個。

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