集合と位相の問題

$X$ は、平面から放物線 $y=x^2$ と直線 $y=1$ を取り除いた集合です。2 つの曲線は $x^2=1$、つまり点 $(\pm 1,1)$ で交わります。

手順 1：符号で分ける。 $f(x,y)=y-x^2$, $g(x,y)=y-1$ はどちらも連続で、$X$ 上では $0$ になりません。$C$ を $X$ の連結な部分集合とすると、連続写像による像 $f(C)$ は $\mathbb{R}$ の連結集合なので区間です。この区間は $0$ を含まないので、$C$ 上で $f$ の符号は一定です。$g$ についても同じです。したがって、$f,g$ の符号の組が異なる点どうしは、同じ連結成分に入りません。符号の組ごとに分けると、次の 4 つの部分になります。
- (A) $y>x^2$ かつ $y>1$
- (B) $y<x^2$ かつ $y<1$
- (C) $x^2<y<1$（このとき $|x|<1$）
- (D) $1<y<x^2$（このとき $x^2>1$、つまり $x>1$ または $x<-1$）

手順 2：(D) をさらに分ける。 (D) を $D_{+}=\{x>1\}$ の部分と $D_{-}=\{x<-1\}$ の部分に分けます。(D) に含まれる連結集合 $C$ の、射影 $(x,y)\mapsto x$ による像は区間です。もし $C$ が $D_{+}$ と $D_{-}$ の両方の点を含むとすると、この区間は $1$ より大きい値と $-1$ より小さい値を含むので、$0$ も含みます。ところが (D) の点は $|x|>1$ を満たすので、これは矛盾です。よって $D_{+}$ と $D_{-}$ は別の成分です。

手順 3：各部分が道でつなげることを確かめる。 道でつなげる集合は連結です。
- (A)：$y>h(x)$, $h(x)=\max (1,x^2)$ と表せます。2 点 $(a,s),(b,t)$ が与えられたら、十分大きい $M$（区間 $[a,b]$ 上の $h$ の最大値と $s,t$ より大きい数）をとります。まず $(a,s)$ から $(a,M)$ へ真上に進み、次に $(b,M)$ へ水平に進み、最後に $(b,t)$ へ真下に進みます。この道は (A) から出ません。
- (B)：$y<\min (1,x^2)$ です。(A) と同じように、十分下へ下がってから水平に進めばつなげます。
- (C)：$y>x^2$ が表す領域と $y<1$ が表す領域はどちらも凸なので、その共通部分 (C) も凸です。したがって、2 点を結ぶ線分で (C) の中でつなげます。
- $D_{+}$：点 $(a,s)$ から水平に $(M,s)$ へ進み、縦に $(M,t)$ へ進み、水平に $(b,t)$ へ戻ります。ここで $M$ は十分大きくとります。$1<y$ のまま $x$ が増えるだけなので、$y<x^2$ は保たれます。縦に進む部分でも $M^2>s,t$ なので条件を満たします。よって $D_{+}$ の中でつなげます。$D_{-}$ も同様です。

結論。 $X$ は (A), (B), (C), $D_{+}$, $D_{-}$ の 5 つの部分に分かれます。各部分は弧状連結なので連結で、互いに異なる部分は同じ連結成分に入りません。よって連結成分の個数は $5$ です。

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=1$ は点 $(\pm 1,1)$ で交わる。$X$ は平面からこの 2 曲線を除いた集合なので、$X$ の連結成分は、2 曲線で切り分けられる各領域である。

1. 放物線の内側 $y>x^2$ を直線 $y=1$ で分ける。
・$y>x^2$ かつ $y>1$。2 つの凸集合の共通部分なので凸で、連結。1 個。
・$x^2<y<1$。同様に凸で、連結。1 個。
2. 放物線の外側 $y<x^2$ を直線 $y=1$ で分ける。
・$y<x^2$ かつ $y<1$。$y<0$ の部分では $x$ が任意の実数なので、左側と右側がつながる。また、$0\le y<1$ の部分は $|x|>\sqrt{y}$ を満たす点で、$y<0$ の部分につながる。よって連結。1 個。
・$y<x^2$ かつ $y>1$。条件は $|x|>\sqrt{y}$ かつ $y>1$ で、$x>\sqrt{y}$ の部分と $x<-\sqrt{y}$ の部分に分かれる。この 2 つは互いに交わらず、どちらも連結。2 個。

合計は $1+1+1+2=5$ 個である。

検算：交点が 2 個あるので、曲線の和集合のグラフは頂点 2、辺 5（放物線が 3 本、直線が 3 本の分割から考えると、放物線は 3 本、直線は 3 本で計 6 本）。オイラーの公式で有界でない領域も含めて数えると、$V-E+F=1$（平面を無限遠で閉じて球面とみなし、無限遠点を頂点に加えると $V=3$, $E=6+$ 端点処理…）という方法もあるが、ここでは領域を直接数えた結果の 5 を採用する。