集合と位相の問題

条件を分ける　$(x^2-1)(y^2-1)>0$ は、2 つの因数が同符号（どちらも $0$ でない）であることと同値である。

• どちらも正：$x^2>1$ かつ $y^2>1$、すなわち $|x|>1$ かつ $|y|>1$。
• どちらも負：$x^2<1$ かつ $y^2<1$、すなわち $|x|<1$ かつ $|y|<1$。

前者は $x>1$ か $x<-1$、$y>1$ か $y<-1$ の組合せで 4 つに分かれる。よって $X$ は次の 5 つの集合の和集合である。
$$\begin{array}{rlrlrl}{U}_1& =\{x>1,y>1\},& U_2& =\{x<-1,y>1\},& U_3& =\{x<-1,y<-1\},\\ U_4& =\{x>1,y<-1\},& U_5& =\{|x|<1,|y|<1\}.& & \end{array}$$

各集合は連結　$U_1,\dots ,U_5$ はどれも開区間（または半直線）の直積なので凸集合である。凸集合は任意の 2 点を線分で結べるので弧状連結、したがって連結である。

互いに分離している　$U_1,\dots ,U_5$ は互いに交わらず、どれも ${\mathbb{R}}^2$ の開集合（不等号がすべて狭義）なので、$X$ の開集合でもある。ある $U_i$ を含む連結部分集合 $C\subset X$ があったとすると、$C\cap U_i$ と $C\cap \left({\bigcup }_{j\ne i}{U}_j\right)$ は $C$ を互いに交わらない 2 つの開集合に分けるので、$C$ が連結であることから後者は空、つまり $C\subset U_i$ である。よって各 $U_i$ は $X$ の極大な連結部分集合、すなわち連結成分である。

したがって $X$ の連結成分は $U_1,\dots ,U_5$ の $5$ 個である。

$(x^2-1)(y^2-1)>0$ は $x^2-1$ と $y^2-1$ が同符号であることと同値。

(i) 両方が正：$|x|>1$ かつ $|y|>1$。これは $x>1$ または $x<-1$、$y>1$ または $y<-1$ の組合せで 4 つの開いた象限 $\{x>1,y>1\}$, $\{x>1,y<-1\}$, $\{x<-1,y>1\}$, $\{x<-1,y<-1\}$ の非交叉和になる。各々は凸集合（半平面の共通部分）なので連結。互いに異なる象限の点を結ぶ連続な道は $|x|=1$ または $|y|=1$ をまたぐ必要があるが、それは $X$ に含まれないので、この 4 つは別々の成分である。

(ii) 両方が負：$|x|<1$ かつ $|y|<1$。開正方形 $(-1,1{)}^2$ で凸なので連結（1 成分）。

(i) と (ii) の和集合は互いに素な開集合の和（$X$ の相対位相で (ii) と (i) はそれぞれ開かつ閉）なので、(ii) の正方形と (i) の各象限も分離される。よって連結成分は $4+1=5$ 個。

検算：点 $(0,0)\in X$、$(2,2)\in X$、$(0,2)\notin X$（$(0-1)(4-1)=-3<0$）。$(0,0)$ から $(2,2)$ へ行く道は $|x|=1$ か $|y|=1$ の点を通るので $X$ の外に出る。確かに分離している。