集合と位相の問題

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に、$x,y\in \mathbb{R}$ に対して
$$d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$$
で定まる距離 $d$ を入れた距離空間 $(\mathbb{R},d)$ を考える。ここで $\arctan$ は値域を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ とする $\tan$ の逆関数である。部分集合 $A=[-1,\infty )$ の直径
$$\mathrm{diam}A=\sup \{d(p,q)\mid p,q\in A\}$$
を求めよ。

実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に、距離
$$d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$$
を入れた距離空間 $(\mathbb{R},d)$ を考える。ここで $\arctan$ は値を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ にとる逆正接関数である。部分集合
$$A=\{x\in \mathbb{R}\mid x\geqq -1\}$$
の直径
$$\mathrm{diam}A=\sup \{d(p,q)\mid p,q\in A\}$$
を求めよ。

平面 ${\mathbb{R}}^2$ に、$p=(x_1,y_1)$, $q=(x_2,y_2)$ に対して
$$d_1(p,q)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$$
で定まる距離 $d_1$ を入れた距離空間 $({\mathbb{R}}^2,d_1)$ を考える。部分集合
$$S=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2\le 1\}$$
の $d_1$ に関する直径
$$\mathrm{diam}(S)=\sup \{d_1(p,q)\mid p,q\in S\}$$
を求めよ。

座標平面 ${\mathbb{R}}^2$ にユークリッド距離 $$d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$ を入れた距離空間を考える。放物線上の点全体の集合を $$A=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y=x^2\}$$ とし、点 $p=(0,2)$ をとる。点と集合の距離 $$d(p,A)=\underset{a\in A}{\inf }d(p,a)$$ を求めよ。

座標平面 ${\mathbb{R}}^2$ に、ユークリッド距離 $$d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$ を入れた距離空間を考える。放物線上の点全体の集合を $$A=\{(t,t^2)\mid t\text{ は実数}\}$$ とし、点 $P=\left(0,\frac{5}{2}\right)$ とする。点 $P$ と集合 $A$ の距離 $$d(P,A)=\underset{Q\in A}{\inf }d(P,Q)$$ を求めよ。