コンパクト性の判定

ハイネ・ボレルの定理（ $R^{n}$ では有界閉集合 $⟺$ コンパクト）と点列コンパクト性を使い、与えられた集合がコンパクトかを判定できる。コンパクトでないときは、有限部分被覆をもたない開被覆や、収束部分列をもたない点列を挙げられる

前提

内部・閉包・境界・集積点（大学数学集合と位相）
集合の直径（大学数学集合と位相）

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算数中学高校大学大学院

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説明

集合 $A$ がコンパクトであるとは、 $A$ を覆う開集合の集まり（開被覆）をどのように選んでも、その中から有限個を選んで $A$ を覆い直せることをいいます。 $R^{n}$ の部分集合なら、この判定は「有界か」「閉集合か」の 2 点を確かめるだけで済みます（ハイネ・ボレルの定理）。コンパクトでないときは、有限個では覆えない開被覆や、 $A$ の中に収束する部分列をもたない点列を具体的に挙げて、そのことを示します。コンパクト性は、連続関数の最大値・最小値の存在などを示すときの土台になります。

なぜそうしてよいのか

言葉を整理します。集合 $A$ の開被覆とは、開集合の族 ${U_{λ}}$ で $A \subset ⋃_{λ} U_{λ}$ となるものです。 $A$ がコンパクトとは、どの開被覆からも有限個 $U_{λ_{1}}, \dots, U_{λ_{m}}$ を選んで $A \subset U_{λ_{1}} \cup \dots \cup U_{λ_{m}}$ にできることです。 $A$ が点列コンパクトとは、 $A$ の点からなるどの点列も、 $A$ の点に収束する部分列をもつことです。距離空間では、この 2 つの性質は同じものになることが知られています。

コンパクトなら有界で閉である理由を見てみます。開球 $B (0, k)$ （ $k = 1, 2, \dots$ ）は $R^{n}$ 全体を覆います。有限個を選ぶと、その和集合は番号が最大の $B (0, m)$ に一致するので、 $A \subset B (0, m)$ となり、 $A$ は有界です。次に、 $p \in A$ だが $p \in / A$ となる点 $p$ があったとします。開集合 $U_{k} = {x ∣ d (x, p) > \frac{1}{k}}$ の和集合は $R^{n} ∖ {p}$ なので、 $A$ を覆います。ところが有限個の和集合は番号が最大の $U_{m}$ に一致し、 $p$ は閉包の点なので $d (x, p) \leq \frac{1}{m}$ となる $x \in A$ が存在します。この $x$ は $U_{m}$ に入らず、覆いきれません。よって $A = A$ 、つまり $A$ は閉集合です。

逆に、有界閉集合が点列コンパクトであることは二分法で分かります。 $R$ の場合、点列が $[- R, R]$ に入っているとします。区間を半分に分けると、少なくとも一方には点列の項が無限個あるので、そちらを選びます。これを繰り返すと、幅が $0$ に縮む入れ子の区間ができます。各区間から順に項を 1 つずつ（番号が増えるように）選べば、その部分列はある実数に収束します。 $R^{n}$ では座標ごとに同じ操作を繰り返します。極限は $A$ の点の極限なので $A$ に属し、 $A$ が閉なら $A$ に属します。以上をまとめたものが、 $R^{n}$ では「有界閉 $⟺$ コンパクト」というハイネ・ボレルの定理です。

手順

空間を確認する。 $R^{n}$ （通常の距離）の部分集合ならハイネ・ボレルの定理を使う。それ以外の距離空間では、定義または点列コンパクト性に戻って判定する。
有界かを調べる。 $A \subset B (0, R)$ となる $R$ があるか、または $diam A < \infty$ かを確かめる。
閉集合かを調べる。 $A$ の点列の極限（集積点）がすべて $A$ に入るか、つまり $A = A$ かを確かめる。
有界かつ閉ならコンパクトと結論する。どちらかが成り立たなければコンパクトではない。
コンパクトでないときは反例を挙げる。有界でないなら、開被覆 ${B (0, k)}_{k \geq 1}$ や $∣ x_{k} ∣ \to \infty$ となる点列を使う。閉でないなら、 $p \in A ∖ A$ をとり、開被覆 $U_{k} = {x ∣ d (x, p) > \frac{1}{k}}$ や $p$ に収束する点列を使う。

例題

$R$ または $R^{2}$ （通常の距離）の部分集合として、次のうちコンパクトなものをすべて選べ。
ア ${(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1}$
イ ${(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} < 1}$
ウ ${(x, y) ∣ x y = 1}$
エ ${0} \cup {\frac{1}{n} ∣ n \in Z_{> 0}}$
オ ${\frac{1}{n} ∣ n \in Z_{> 0}}$

例題の解答

手順1：どれも $R$ または $R^{2}$ の部分集合なので、ハイネ・ボレルの定理を使う。手順2〜5 を各集合に適用する。
ア： $B (0, 2)$ に含まれるので有界。境界の円 $x^{2} + y^{2} = 1$ も含んでおり、点列の極限 $(x, y)$ も $x^{2} + y^{2} \leq 1$ を満たすので閉。よってコンパクト。
イ：有界だが、 $(1, 0) \in A ∖ A$ である。点列 $(1 - \frac{1}{n}, 0)$ は $(1, 0) \in / A$ に収束するので、どの部分列も $A$ の点には収束しない。閉でないのでコンパクトではない。
ウ：閉ではあるが、点列 $(n, \frac{1}{n})$ は原点からの距離が $\infty$ に発散するので有界でない。開被覆 ${B (0, k)}$ も有限個では覆えない。よってコンパクトではない。
エ： $[0, 1]$ に含まれるので有界。集積点は $0$ だけで、 $0 \in A$ なので $A = A$ 、つまり閉。よってコンパクト。
オ：有界だが、集積点 $0$ が $A$ に入らないので閉でない。 $U_{k} = {x ∣ ∣ x ∣ > \frac{1}{k}}$ は $A$ を覆う。しかし有限個の和集合は $U_{m}$ に一致し、点 $\frac{1}{m + 1}$ を覆えない。よってコンパクトではない。
以上より、コンパクトなのはアとエである。

答え:

ア, エ

よくある誤り

有界であることだけを見て $(0, 1)$ をコンパクトとしてしまう誤り。正しくは、 $(0, 1)$ は閉でないのでコンパクトではない。実際、開被覆 ${(\frac{1}{k}, 1)}_{k \geq 2}$ は有限個では $\frac{1}{m + 1}$ のような点を覆えない。
閉集合であることだけを見て、 ${(x, y) ∣ x y = 1}$ や $[0, \infty)$ をコンパクトとしてしまう誤り。正しくは、有界でないのでコンパクトではない。点列 $x_{k} = k$ はどの部分列も収束しない。
ある 1 つの開被覆が有限部分被覆をもつことを確かめただけでコンパクトとしてしまう誤り。例えば $(0, 1) \subset (- 1, 2)$ は 1 個の開集合で覆えるが、これでは何も言えない。正しくは、すべての開被覆が有限部分被覆をもつ必要がある。同様に、点列コンパクト性では部分列の極限が $A$ の中にあることまで要る。
$R^{n}$ 以外の距離空間でも「有界閉ならコンパクト」としてしまう誤り。例えば $Z$ に離散距離（異なる 2 点の距離を $1$ とする）を入れると、全体は直径 $1$ で有界かつ閉である。しかし開被覆 ${B (n, \frac{1}{2})} = {{n}}_{n \in Z}$ は有限部分被覆をもたず、コンパクトではない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

コンパクト性の判定

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

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