集合と位相の問題

ハイネ・ボレルの定理により、$\mathbb{R}$ の部分集合がコンパクトであることと、有界かつ閉集合であることは同値である。そこで、各集合について「有界か」「閉集合か」を順に調べる。

$A_1=[-1,2]\cup \{3\}$: $A_1\subset [-1,3]$ なので有界。閉区間 $[-1,2]$ と 1 点集合 $\{3\}$ はどちらも閉集合で、有限個の閉集合の和集合は閉集合なので $A_1$ は閉集合。よってコンパクト。

$A_2=(0,1]$: 有界だが、点列 $x_n=\frac{1}{n}\in A_2$ は $0$ に収束し、$0\notin A_2$ なので閉集合でない。よってコンパクトでない。実際、この点列のどの部分列も $0$ に収束するので、$A_2$ の中に極限をもつ部分列はない（点列コンパクトでない）。また開被覆 ${\left\{\left(\frac{1}{n},2\right)\right\}}_{n=1,2,\dots }$ は有限部分被覆をもたない（有限個をとると、最大の $n=N$ に対して $\frac{1}{N}$ 以下の点が覆われない）。

$A_3$: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\leqq 0$ を解くと $1\leqq x\leqq 2$ なので $A_3=[1,2]$。有界閉区間なのでコンパクト。

$A_4=\left\{\frac{1}{n}\right\}$: $A_4\subset (0,1]$ なので有界。しかし $\frac{1}{n}\to 0$ で $0\notin A_4$ だから、$0$ は $A_4$ の集積点なのに $A_4$ に属さず、閉集合でない。よってコンパクトでない（点列 $\frac{1}{n}$ は $A_4$ 内に収束する部分列をもたない）。

$A_5=\{0\}\cup \left\{\frac{1}{n}\right\}$: $A_5\subset [0,1]$ なので有界。$A_4$ の集積点は $0$ だけであり、それが $A_5$ に含まれるので、$A_5$ は閉集合。よってコンパクト。

$A_6=\mathbb{Z}$: 点列 $x_n=n$ をとると $|x_n|\to \infty$ なので有界でない。よってコンパクトでない。実際、点列 $n$ のどの部分列も収束しない。また開被覆 $\{(-n,n){\}}_{n=1,2,\dots }$ は、有限個では $(-N,N)$ にしかならず $N\in \mathbb{Z}$ を覆えない。

以上より、コンパクトなのは $A_1,A_3,A_5$ の $3$ 個である。

R の部分集合がコンパクトであることは、ハイネ・ボレルの定理により、有界閉集合であることと同値である。各集合を調べる。

$A_1=[-1,2]\cup \{3\}$: 有界で、閉集合どうしの和なので閉。よってコンパクト。

$A_2=(0,1]$: 0 は $A_2$ の集積点だが $A_2$ に属さないので閉でない。よってコンパクトでない。

$A_3$: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\le 0$ より $A_3=[1,2]$。有界閉なのでコンパクト。

$A_4=\{1/n\}$: 0 に収束する点列を含むが、極限 0 は $A_4$ に属さない。閉でないのでコンパクトでない。

$A_5=\{0\}\cup \{1/n\}$: 有界で、唯一の集積点 0 を含むので閉。よってコンパクト。

$A_6=\mathbb{Z}$: 閉だが非有界。よってコンパクトでない。

コンパクトなのは $A_1,A_3,A_5$ の 3 個。

検算: $A_2,A_4$ は開被覆 $\{(1/k,2)\}$ などで有限部分被覆を取れないことからもコンパクトでないと確認できる。