集合と位相の問題
実数全体の集合 に通常のユークリッド距離による位相を入れる。 を有理数全体の集合とし、 の部分集合 を
で定める。 の境界を と書くとき、 の内部 を求めよ。答えは区間または区間の和集合で表せ。
この問題で使うもの
- 内部・閉包・境界・集積点（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（50 技能）
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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
一覧で見る（前提が先）
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- 対頂角と平行線の同位角・錯角
- 三角形の外角と角の組み合わせ
- 小数の四則計算
- 分数のたし算・ひき算
- 分数のかけ算・わり算
- 小数と分数のまじった計算
- 逆算（□ を求める）
- 正負の数の加法・減法
- 四則の混じった計算の順序
- 正負の数の乗除・累乗と四則混合
- 分配法則を使った計算のくふう
- 文字式の計算（同類項・分配法則）
- 1 次方程式の解き方
- 二等辺三角形の角
- 平行四辺形と特別な四角形の性質
- 三角形・四角形の面積
- 約数の見つけ方
- 素因数分解と約数の個数
- 平方根の意味と根号の簡単化
- 三平方の定理
- 乗法公式による展開
- 折り返した図形の角と長さ
- 三平方の定理と平面図形
- 最大公約数と最小公倍数
- 比の性質と簡単な比
- 相似な三角形と長さの比
- 三角形の相似条件と対応する辺の長さ
- 平行線と線分の比
- 2点間の距離と内分点・外分点
- 1 次不等式
- 絶対値を含む方程式・不等式の基本
- 円の周の長さと面積
- おうぎ形の弧の長さと面積
- 弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める
- 特別な直角三角形の辺の比
- 弧度法と単位円による三角関数
- 加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式
- 距離空間と開球
- 樹形図で数え上げる
- 積の法則と和の法則
- 和の法則・積の法則と樹形図
- 順列・円順列・重複順列
- 組合せ
- 写像・単射の個数と集合の濃度
- 有限集合上の位相
- 等間隔にならんだ数の和
- 等差・等比数列の和と Σ
- 数列の極限
- 内部・閉包・境界・集積点
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
を使い、まず の閉包と内部をそれぞれ求める。有理数・無理数の稠密性が鍵になる。
ヒント 2
の閉包は だが内部は空、 の閉包は だが内部は空。ただし他の区間と重なる部分に注意する。
ヒント 3
、 となる。差をとって を求め、その中で開区間を含む部分を探す。
答えと解説
答えを見る
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解説を読む
を使う。以下、 と がともに で稠密である（任意の開区間が有理数も無理数も含む）ことを用いる。
閉包 稠密性より の閉包は 、 の閉包は である。また の閉包は 、 は閉集合、 の閉包はこれに極限 を加えたものである。有限個の和集合の閉包は閉包の和集合なので
内部 と は に含まれる開区間なので 。それ以外の の点が内部点でないことを確かめる。
- ：近傍 は 付近（ なら ）の無理数を含み、それらは に属さない。
- ：近傍は 内の有理数を含み、それらは に属さない（ でも の有理数がある）。
- および ：近傍は 内の の形でない点（たとえば隣り合う と の間の点）を含み、それらは に属さない。
よって
境界
境界の内部 と は に含まれる開区間なので内部に含まれる。端点について： の近傍は負の数（ に属さない）を含み、 の近傍は の点を含み、 の近傍は の点を含み、 の近傍は の点を含むので、いずれも内部点でない。, , はどの近傍も に属さない点を含む（ や は孤立点であり、 の左側は ）ので内部点でない。
したがって
別解
まず の各部分を整理する。 では は だけである。 は に含まれる（、）が、。 では無理数だけが に入る。 は に含まれる。さらに点列 が に含まれる。
閉包は である。有理数の稠密性から 全体が閉包に入る。 の無理数の閉包は である。 は点列 の極限点である。
内部は である。点 はその近傍に の無理数を含むので内部点でない。点 はその近傍に の有理数を含むので内部点でない。点 も内部点でない。
。
この集合の内部を求める。 の内部は 、 の内部は である。残りは孤立点なので内部点を持たない。端点 は、その外側の近傍に に含まれない点があるので内部点でない。
よって 。