集合と位相の問題

1. $Q$ 上での距離の計算

$p=(x,y)\in Q$ とすると $|x|\le \frac{1}{2}$, $|y|\le \frac{1}{2}$ である。整数 $k$ に対して $|x-k|\ge |x|$ が成り立つ。実際、$k=0$ なら等号であり、$|k|\ge 1$ なら
$$|x-k|\ge |k|-|x|\ge 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\ge |x|$$
である。$y$ についても同様なので、任意の $m=(k,l)\in {\mathbb{Z}}^2$ に対して
$$\Vert p-m{\Vert }^2=(x-k{)}^2+(y-l{)}^2\ge x^2+y^2=\Vert p{\Vert }^2$$
となる。よって $d(\pi (p),\pi (0))={\min }_m\Vert p-m\Vert =\Vert p\Vert$ であり、
$${\pi }^{-1}(B)\cap Q=\left\{p\in Q|\Vert p\Vert <r\right\},r=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
が成り立つ。

2. 円板と正方形の共通部分の面積

$Q$ の境界の一部が含まれるかどうかは面積に影響しないので、半径 $r$ の開円板 $D$ と閉正方形 ${\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]}^2$ の共通部分の面積を求めればよい。

$\frac{1}{2}<r=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0.577<\frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、$D$ は正方形の $4$ 辺それぞれからはみ出すが、$4$ つの頂点は $D$ の外にある。

直線 $x=\frac{1}{2}$ の右側にはみ出す部分（弓形）の点は $x>\frac{1}{2}$ かつ $y^2<r^2-x^2<r^2-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$ を満たす。よって $|y|<\frac{1}{2\sqrt{3}}<\frac{1}{2}$ なので、この弓形は他の辺からはみ出す部分と重ならない。対称性より、$4$ つの弓形は互いに重ならず、面積も等しい。

中心から弦までの距離が $\frac{1}{2}$ で、$\cos \theta =\frac{1/2}{r}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ とおくと $\theta =\frac{\pi }{6}$ である（$\theta$ は弦が中心に張る角の半分）。弓形の面積は扇形から三角形を引いたものなので
$$S_{\text{cap}}=r^2(\theta -\sin \theta \cos \theta )=\frac{1}{3}\left(\frac{\pi }{6}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi }{18}-\frac{\sqrt{3}}{12}$$
となる。円板の面積は $\pi r^2=\frac{\pi }{3}$ なので、求める面積は
$$\frac{\pi }{3}-4\left(\frac{\pi }{18}-\frac{\sqrt{3}}{12}\right)=\frac{\pi }{3}-\frac{2\pi }{9}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi }{9}+\frac{\sqrt{3}}{3}$$
である。

（検算：$\frac{\pi }{9}+\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0.349+0.577=0.926$ であり、$Q$ の面積 $1$ より小さく、円板の面積 $\frac{\pi }{3}\approx 1.047$ より小さいので妥当である。）

$Q=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}{)}^2$ は原点を中心とする、${\mathbb{Z}}^2$ のヴォロノイ領域（原点が最も近い格子点となる領域）である。したがって $p\in Q$ なら ${\min }_m\Vert p-m\Vert =\Vert p\Vert$ となる。よって ${\pi }^{-1}(B)\cap Q=\{p\in Q:\Vert p\Vert <r\}$（$r=1/\sqrt{3}$）であり、求める面積は円板 $\Vert p\Vert <r$ と正方形 $Q$ の共通部分の面積である。

$r\approx 0.577>1/2$ なので円板は正方形の各辺からはみ出す。一方、正方形の頂点までの距離は $\sqrt{2}/2\approx 0.707>r$ なので、はみ出す部分（弓形）4つは互いに重ならない。

辺 $x=1/2$ の外側にある弓形を考える。中心からの距離は $h=1/2$ で、$\cos \theta =h/r=\sqrt{3}/2$ より半中心角は $\theta =\pi /6$ である。弓形の面積は
$$\frac{r^2}{2}(2\theta -\sin 2\theta )=\frac{1}{6}\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi }{18}-\frac{\sqrt{3}}{12}.$$

求める面積は
$$\pi r^2-4\left(\frac{\pi }{18}-\frac{\sqrt{3}}{12}\right)=\frac{\pi }{3}-\frac{2\pi }{9}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi }{9}+\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

検算：数値では $0.349+0.577=0.926<1$ で、正方形の面積 1 より小さく、円板の面積 $\pi /3\approx 1.047$ より小さい。これは妥当である。