集合と位相の問題

$A_1=(0,1)\cap \mathbb{Q}$, $A_2=(1,3]$, $A_3=\{4\}$ とおく。有限個の集合の和について $(A_1\cup A_2\cup A_3{)}^{\prime }=A_1^{\prime }\cup A_2^{\prime }\cup A_3^{\prime }$ が成り立つ（$x$ の近くに $A$ の点が無数にあれば、どれかの $A_i$ の点が無数にある）ので、それぞれを求める。

$A_1^{\prime }$. 有理数は実数の中で稠密なので、任意の $x\in [0,1]$ と任意の $\epsilon >0$ に対し、$(x-\epsilon ,x+\epsilon )\cap (0,1)$ は空でない開区間を含み、その中に $x$ と異なる有理数がある。よって $[0,1]\subset A_1^{\prime }$。一方 $x\notin [0,1]$ なら、$\epsilon$ を $x$ と $[0,1]$ の距離より小さくとれば近傍は $A_1$ と交わらない。したがって $A_1^{\prime }=[0,1]$。

$A_2^{\prime }$. 区間 $(1,3]$ の集積点全体はその閉包 $[1,3]$ である（$x\in [1,3]$ ならどんな近傍も $(1,3]$ の点を無数に含み、$x\notin [1,3]$ なら十分小さい近傍は $(1,3]$ と交わらない）。よって $A_2^{\prime }=[1,3]$。

$A_3^{\prime }$. $1$ 点集合は集積点をもたないので $A_3^{\prime }=\varnothing$。実際、$4$ の近傍 $(3.5,4.5)$ は $4$ 以外の $A$ の点を含まないので、$4$ は $A$ の孤立点である。

以上より
$$A^{\prime }=[0,1]\cup [1,3]\cup \varnothing =[0,3].$$
（$A$ の点ではない $0$ と $1$ も集積点になり、$A$ の点である $4$ は集積点にならないことに注意。）

$A$ の各部分の導集合を考える。$(0,1)\cap \mathbb{Q}$ は $[0,1]$ で稠密なので、$x\in [0,1]$ の任意の近傍が $x$ 以外の有理数 $\in (0,1)$ を含み、導集合は $[0,1]$。$(1,3]$ の導集合は $[1,3]$。有限集合 $\{4\}$ の導集合は空集合。導集合は和集合と可換なので $A^{\prime }=[0,1]\cup [1,3]\cup \varnothing =[0,3]$。
確認: $x<0$ や $x>3$ のとき、$x\ne 4$ なら $x$ の十分小さい近傍は $A$ と交わらないので集積点でない。$x=4$ は $A$ の点だが、$\epsilon <1$ の近傍 $(4-\epsilon ,4+\epsilon )$ は $4$ 以外の $A$ の点を含まないので集積点でない（孤立点）。$x=0$ は右側に有理数 $\in (0,1)$ が近傍内にあり集積点。$x=1$ は $A$ の点ではないが両側から $A$ の点が近づくので集積点。$x=3$ は左側から $(1,3]$ の点が近づく。よって $A^{\prime }=[0,3]$。