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集合と位相の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学集合と位相

実数全体の集合 $R$ に、通常のユークリッド距離 $d (x, y) = ∣ x - y ∣$ による位相を入れる。 $R$ の部分集合
$A = {x \in R ∣ 1 ≦ ∣ x - 2∣ < 3}$
について、境界 $\partial A = A ∖ A^{\circ}$ を求めよ。

この問題で使うもの

内部・閉包・境界・集積点（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（50 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「内部・閉包・境界・集積点」を使います。まず絶対値の不等式を解いて、 $A$ を区間の和集合で表しましょう。

ヒント 2

$A = (- 1, 1] \cup [3, 5)$ となります。内部は「小さな開区間ごと $A$ に含まれる点」、閉包は「 $A$ の点列の極限になりうる点」です。境界は $\partial A = A ∖ A^{\circ}$ で求めます。

ヒント 3

$A^{\circ} = (- 1, 1) \cup (3, 5)$ 、 $A = [- 1, 1] \cup [3, 5]$ です。この 2 つの差集合を計算しましょう。

答えと解説

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{- 1, 1, 3, 5}

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解説を読む

手順 1： $A$ を区間で表す。

$∣ x - 2∣ < 3$ は $- 3 < x - 2 < 3$ なので $- 1 < x < 5$ である。

$∣ x - 2∣ ≧ 1$ は「 $x - 2 ≦ - 1$ または $x - 2 ≧ 1$ 」なので「 $x ≦ 1$ または $x ≧ 3$ 」である。

両方を満たす $x$ の範囲を考えると、
$A = (- 1, 1] \cup [3, 5)$
となる。

手順 2：内部 $A^{\circ}$ を求める。

内部は、ある $ε > 0$ について開球 $B (x, ε) = (x - ε, x + ε)$ が $A$ に含まれるような点 $x$ 全体である。

$- 1 < x < 1$ や $3 < x < 5$ の点では、端点までの距離より小さい $ε$ をとれば $(x - ε, x + ε) \subset A$ となる。よって、これらの点は内部に属する。
$x = 1$ では、どんなに小さい $ε > 0$ をとっても、 $(1, 1 + ε)$ に $A$ に属さない点（ $1 < x < 3$ の点）が含まれる。よって $1$ は内部に属さない。
同様に、 $x = 3$ では $(3 - ε, 3)$ に $A$ に属さない点が含まれるので、 $3$ は内部に属さない。

したがって
$A^{\circ} = (- 1, 1) \cup (3, 5)$
である。

手順 3：閉包 $A$ を求める。

閉包は、どんな $ε > 0$ についても $B (x, ε)$ が $A$ と交わるような点 $x$ 全体である。点列の極限でいえば、 $A$ の点列の極限になりうる点全体である。

$A$ の点列 $- 1 + \frac{1}{n}$ は $- 1$ に収束するので、 $- 1 \in A$ である。
$A$ の点列 $5 - \frac{1}{n}$ は $5$ に収束するので、 $5 \in A$ である。
$x < - 1$ 、 $1 < x < 3$ 、 $x > 5$ の点は、十分小さい開球をとれば $A$ と交わらないので、閉包に属さない。

したがって
$A = [- 1, 1] \cup [3, 5]$
である。

手順 4：境界を求める。
$\partial A = A ∖ A^{\circ} = ([- 1, 1] \cup [3, 5]) ∖ ((- 1, 1) \cup (3, 5)) = {- 1, 1, 3, 5}$

$A$ に属する端点 $1, 3$ も、属さない端点 $- 1, 5$ も、どちらも境界に入ることに注意しよう。

別解

$1 ≦ ∣ x - 2∣ < 3$ は $x - 2 \in (- 3, - 1] \cup [1, 3)$ と同値である。よって $A = (- 1, 1] \cup [3, 5)$ となる。

閉包は $A = [- 1, 1] \cup [3, 5]$ 。
内部は $A^{\circ} = (- 1, 1) \cup (3, 5)$ 。

したがって $\partial A = A ∖ A^{\circ} = {- 1, 1, 3, 5}$ 。

検算:
- $- 1$ は $A$ に属さないが、右側の点 $- 1 + ε$ は $A$ に属する。
- $1$ は $A$ に属するが、右側の点 $1 + ε$ は $A$ に属さない。
- $3$ は $A$ に属するが、左側の点 $3 - ε$ は $A$ に属さない。
- $5$ は $A$ に属さないが、左側の点 $5 - ε$ は $A$ に属する。

どの点でも、任意の近傍が $A$ と $A$ の補集合の両方と交わるので、4点とも境界点である。

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