この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

集合と位相の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学集合と位相

実数全体 $R$ に通常の距離 $d (x, y) = ∣ x - y ∣$ による位相を入れる。 $R$ の次の 6 つの部分集合のうち、コンパクトであるものの番号 $k$ をすべて求め、集合として答えよ。

$A_{1} = [0, 1] \cup {2}, A_{2} = (0, 1], A_{3} = {\frac{1}{n} n は正の整数},$
$A_{4} = {0} \cup {\frac{1}{n} n は正の整数}, A_{5} = {x \in R ∣ sin x = 0}, A_{6} = {x \in R ∣ x^{2} - 3 x + 2 ≦ 0} .$

この問題で使うもの

コンパクト性の判定（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（63 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ハイネ・ボレルの定理（ $R$ では「有界かつ閉集合」 $⟺$ 「コンパクト」）を使って、1 つずつ判定しよう。

ヒント 2

閉集合かどうかは「集積点をすべて含むか」で調べる。点列 $\frac{1}{n}$ の極限 $0$ が集合に入っているかに注意。 $A_{5}$ は $sin x = 0$ の解を、 $A_{6}$ は 2 次不等式を解いて具体的に書き直そう。

ヒント 3

$A_{5} = {nπ ∣ n は整数}$ は有界でなく、 $A_{6} = [1, 2]$ である。 $A_{2}$ と $A_{3}$ は $0$ を含まないので閉集合でない。残りの $A_{1}, A_{4}$ が有界閉集合かを確かめよう。

答えと解説

答えを見る

{1, 4, 6}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

ハイネ・ボレルの定理により、 $R$ の部分集合がコンパクトであることと、有界かつ閉集合であることは同値である。そこで、各集合について「有界か」「閉集合か」を順に確かめる。

$A_{1} = [0, 1] \cup {2}$ ： $A_{1} \subset [0, 2]$ なので有界。閉区間 $[0, 1]$ と 1 点集合 ${2}$ はどちらも閉集合で、閉集合 2 つの和集合は閉集合だから $A_{1}$ は閉集合。よってコンパクト。

$A_{2} = (0, 1]$ ：有界だが、 $0$ は $A_{2}$ の集積点（ $\frac{1}{n} \in A_{2}$ , $\frac{1}{n} \to 0$ ）なのに $0 \in / A_{2}$ なので閉集合でない。よってコンパクトでない。実際、点列 $\frac{1}{n}$ のどの部分列も $0$ に収束し、 $A_{2}$ の点には収束しない。また開被覆 ${(\frac{1}{n}, 2)}_{n ≧ 1}$ から有限個 $(\frac{1}{n _{1}}, 2), \dots, (\frac{1}{n _{m}}, 2)$ を選ぶと、その和集合は $(\frac{1}{N}, 2)$ （ $N = max n_{i}$ ）であり、 $\frac{1}{N + 1} \in A_{2}$ を覆えない。

$A_{3} = {\frac{1}{n}}$ ： $A_{3} \subset (0, 1]$ なので有界。しかし $\frac{1}{n} \to 0$ より $0$ は集積点で、 $0 \in / A_{3}$ だから閉集合でない。よってコンパクトでない（点列 $\frac{1}{n}$ は $A_{3}$ の中で収束する部分列をもたない）。

$A_{4} = {0} \cup {\frac{1}{n}}$ ： $A_{4} \subset [0, 1]$ なので有界。 $A_{4}$ の集積点は $0$ だけであり、 $0 \in A_{4}$ だから $A_{4}$ はすべての集積点を含み閉集合。よってコンパクト。

$A_{5} = {x ∣ sin x = 0}$ ：単位円で考えると $sin x = 0 ⟺ x = nπ$ （ $n$ は整数）なので $A_{5} = {nπ ∣ n は整数}$ 。 $nπ$ はいくらでも大きくなるので有界でない。よってコンパクトでない。実際、点列 $x_{n} = nπ$ は $∣ x_{m} - x_{n} ∣ ≧ π$ （ $m \neq = n$ ）なので収束する部分列をもたない。（なお $A_{5}$ 自体は閉集合である。）

$A_{6} = {x ∣ x^{2} - 3 x + 2 ≦ 0}$ ： $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2) ≦ 0$ を解くと $1 ≦ x ≦ 2$ なので $A_{6} = [1, 2]$ 。有界な閉区間だから有界閉集合であり、コンパクト。

以上より、コンパクトなのは $A_{1}, A_{4}, A_{6}$ で、求める集合は ${1, 4, 6}$ である。

別解

ℝ の部分集合がコンパクトであることは、ハイネ・ボレルの定理により、有界閉集合であることと同値である。各集合を調べる。

$A_{1} = [0, 1] \cup {2}$ ：有限個の閉集合の和なので閉集合で、 $[0, 2]$ に含まれるので有界。よってコンパクト。

$A_{2} = (0, 1]$ ：有界だが、点列 $1/ n$ の極限 $0$ が $A_{2}$ に属さないので閉でない。よってコンパクトでない。

$A_{3} = {1/ n}$ ：有界だが、 $1/ n \to 0$ で $0 \in / A_{3}$ なので閉でない。よってコンパクトでない。

$A_{4} = {0} \cup {1/ n}$ ：有界。集積点は $0$ のみで、これは $A_{4}$ に属するので閉。よってコンパクト。

$A_{5} = {x ∣ sin x = 0} = {k π ∣ k \in Z}$ ：連続関数 $sin$ による ${0}$ の逆像なので閉だが、非有界。よってコンパクトでない。

$A_{6}$ ： $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2) ≦ 0$ より $A_{6} = [1, 2]$ で、有界閉区間。よってコンパクト。

以上より、コンパクトなものは $k = 1, 4, 6$ 。

検算： $A_{2}$ 、 $A_{3}$ は点列 $1/ n$ が $A$ 内に収束する部分列を持たないので、点列コンパクトでなく、コンパクトでない。 $A_{5}$ は点列 $k π$ が収束部分列を持たない。 $A_{1}, A_{4}, A_{6}$ は有界閉なので問題ない。

集合と位相の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題