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集合と位相の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学集合と位相

集合 $X = {1, 2, 3}$ の部分集合族 $O_{1}, \dots, O_{6}$ を次のように定める。
$O_{1} = {\emptyset, X}$
$O_{2} = {\emptyset, {1}, {2}, X}$
$O_{3} = {\emptyset, {1}, {1, 2}, X}$
$O_{4} = {\emptyset, {1, 2}, {2, 3}, X}$
$O_{5} = {\emptyset, {2}, {1, 2}, {2, 3}, X}$
$O_{6} = {{1}, {1, 2}, X}$
このうち $X$ 上の位相（開集合系）であるものの番号 $k$ をすべて求め、集合 ${k ∣ O_{k} は X 上の位相}$ の形で答えよ。

この問題で使うもの

有限集合上の位相（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（7 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「有限集合上の位相」の判定を使う。位相の公理（ $\emptyset$ と $X$ を含む、和で閉じる、有限個の共通部分で閉じる）を各族について 1 つずつ確かめよう。

ヒント 2

有限集合では、どの 2 つの元 $A, B$ についても $A \cup B$ と $A \cap B$ が族に入っているかを調べれば十分。 $\emptyset$ ・ $X$ を含む組や包含関係にある組は自動的に成り立つので、包含関係にない組だけ調べればよい。

ヒント 3

$O_{2}$ では ${1} \cup {2}$ 、 $O_{4}$ では ${1, 2} \cap {2, 3}$ が族に入っているかを確かめよう。 $O_{6}$ は $\emptyset$ を含むか見てみよう。

答えと解説

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{1, 3, 5}

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解説を読む

部分集合族 $O$ が $X$ 上の位相であるための条件（位相の公理）は次の 3 つである。
- (i) $\emptyset \in O$ かつ $X \in O$
- (ii) $O$ の元の和集合は $O$ に属する
- (iii) $O$ の有限個の元の共通部分は $O$ に属する

$X$ は有限集合なので $O$ も有限であり、(ii)・(iii) は「どの 2 つの元 $A, B$ についても $A \cup B \in O$ , $A \cap B \in O$ 」を確かめればよい（2 つずつ繰り返し使えば任意の個数の場合も得られる）。また $\emptyset$ や $X$ を含む組、および $A \subset B$ となる組では和・共通部分は $A$ か $B$ のどちらかになるので、それ以外の組だけ調べればよい。

$O_{1}$ : 元は $\emptyset, X$ だけで、(i) を満たし、和・共通部分も $\emptyset$ か $X$ になる。位相である。

$O_{2}$ : (i) は満たす。しかし ${1} \cup {2} = {1, 2} \in / O_{2}$ なので (ii) を満たさない。位相でない。

$O_{3}$ : (i) を満たす。 $\emptyset \subset {1} \subset {1, 2} \subset X$ と包含関係で一列に並ぶので、どの 2 つの和も大きい方、共通部分も小さい方になり、いずれも $O_{3}$ に属する。位相である。

$O_{4}$ : (i) は満たす。しかし ${1, 2} \cap {2, 3} = {2} \in / O_{4}$ なので (iii) を満たさない。位相でない。

$O_{5}$ : (i) を満たす。包含関係にない組は ${1, 2}$ と ${2, 3}$ だけで（ ${2}$ は両方に含まれる）、
${1, 2} \cup {2, 3} = X \in O_{5}, {1, 2} \cap {2, 3} = {2} \in O_{5}$
となる。よって (ii)・(iii) を満たし、位相である。

$O_{6}$ : $\emptyset \in / O_{6}$ なので (i) を満たさない。位相でない。

以上より、位相であるのは $O_{1}, O_{3}, O_{5}$ で、求める集合は ${1, 3, 5}$ である。

別解

位相の条件は、(1) ∅, X が含まれる、(2) 任意の合併で閉じる、(3) 有限交叉で閉じる、の3つである。各族を確かめる。

O_1 = {∅, X} は自明な位相である。よって位相。

O_2 では {1}∪{2} = {1,2} が O_2 に含まれない。よって位相ではない。

O_3 = {∅,{1},{1,2},X} は鎖状である。合併と交叉はどちらも大きい方または小さい方の集合になるので閉じている。よって位相。

O_4 では {1,2}∩{2,3} = {2} が O_4 に含まれない。よって位相ではない。

O_5 = {∅,{2},{1,2},{2,3},X} を確かめる。
交叉: {1,2}∩{2,3}={2} ∈ O_5。{2} と他の集合との交叉は {2} または ∅。{1,2},{2,3} と X との交叉は自身。
合併: {2}∪{1,2}={1,2}、{2}∪{2,3}={2,3}、{1,2}∪{2,3}=X。いずれも O_5 に含まれる。よって位相。

O_6 では ∅ が含まれない。よって位相ではない。

以上より、位相であるのは k=1,3,5 である。

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