集合と位相の問題

境界は定義 $\partial A=\overline{A}\setminus A^{\circ }$ どおりに、内部と閉包を求めてから差をとる。

手順 1：内部 $A^{\circ }$ を求める。 内部は「$A$ に含まれる開集合のうち最大のもの」（$A$ に含まれる開集合すべての和集合）である。$\mathcal{O}$ の元のうち $A=\{2,3\}$ に含まれるものは $\varnothing$ と $\{3\}$ だけである（$\{1\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,2,3\},X$ はどれも $1$ を含むので $A$ に含まれない）。よって
$$A^{\circ }=\varnothing \cup \{3\}=\{3\}.$$

手順 2：閉包 $\overline{A}$ を求める。 閉集合は開集合の補集合である。各開集合の補集合を書き出すと
$$X,\{2,3,4\},\{1,2,4\},\{3,4\},\{2,4\},\{4\},\varnothing$$
（順に $\varnothing ,\{1\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,2,3\},X$ の補集合）。閉包は「$A$ を含む閉集合のうち最小のもの」（$A$ を含む閉集合すべての共通部分）である。$\{2,3\}$ を含む閉集合は $X$ と $\{2,3,4\}$ だけなので
$$\overline{A}=X\cap \{2,3,4\}=\{2,3,4\}.$$

手順 3：境界を求める。
$$\partial A=\overline{A}\setminus A^{\circ }=\{2,3,4\}\setminus \{3\}=\{2,4\}.$$

（確認：点 $2$ を含む開集合は $\{1,2\},\{1,2,3\},X$ で、どれも $A$ の点 $2$ と $A$ の外の点 $1$ を両方含む。点 $4$ を含む開集合は $X$ だけで、これも $A$ の点と外の点を両方含む。よって $2,4$ は確かに境界点である。）

したがって $\partial A=\{2,4\}$。

開集合の補集合として閉集合を求めると、$\varnothing ,\{4\},\{2,4\},\{3,4\},\{1,2,4\},\{2,3,4\},X$ である。

内部 $A^{\circ }$: $A=\{2,3\}$ に含まれる開集合は $\varnothing$ と $\{3\}$ だけである（$\{2\}$ や $\{2,3\}$ は開集合でない）。したがって $A^{\circ }=\{3\}$。

閉包 $\overline{A}$: $\{2,3\}$ を含む閉集合は $\{2,3,4\}$ と $X$ だけである。このうち最小のものが閉包なので $\overline{A}=\{2,3,4\}$。

境界: $\partial A=\overline{A}\setminus A^{\circ }=\{2,3,4\}\setminus \{3\}=\{2,4\}$。

検算: 点 $2$ の開近傍は $\{1,2\},\{1,2,3\},X$ で、どれも $A$ と $A^c=\{1,4\}$ の両方と交わるので、$2$ は境界点。点 $4$ の開近傍は $X$ だけで、これも $A$ と $A^c$ の両方と交わるので境界点。点 $1$ には開近傍 $\{1\}$ があり、$A$ と交わらないので境界点でない。点 $3$ には開近傍 $\{3\}\subset A$ があり、境界点でない。よって $\partial A=\{2,4\}$ で一致する。