集合と位相の問題

有限位相空間では、開集合と閉集合をすべて書き出すと、内部と閉包を定義どおりに求められる。

手順 1: 閉集合をすべて求める。 閉集合は開集合の補集合である。
$$X\setminus \varnothing =X,X\setminus \{1\}=\{2,3\},X\setminus \{1,2\}=\{3\},X\setminus X=\varnothing$$
よって、閉集合は $X,\{2,3\},\{3\},\varnothing$ の 4 つである。

手順 2: 内部 $A^{\circ }$ を求める。 $A^{\circ }$ は $A$ に含まれる開集合のうち最大のもの（$A$ に含まれる開集合すべての和集合）である。開集合のうち $A=\{1,3\}$ に含まれるのは $\varnothing$ と $\{1\}$ だけである（$\{1,2\}$ は $2\notin A$ なので含まれない）。よって
$$A^{\circ }=\varnothing \cup \{1\}=\{1\}$$

手順 3: 閉包 $\overline{A}$ を求める。 $\overline{A}$ は $A$ を含む閉集合のうち最小のもの（$A$ を含む閉集合すべての共通部分）である。閉集合のうち $A=\{1,3\}$ を含むものを調べる。$\{2,3\}$ と $\{3\}$ は $1$ を含まないので不適である。$A$ を含む閉集合は $X$ だけなので
$$\overline{A}=X=\{1,2,3\}$$

手順 4: 境界を求める。
$$\partial A=\overline{A}\setminus A^{\circ }=\{1,2,3\}\setminus \{1\}=\{2,3\}$$

答えは $\partial A=\{2,3\}$ である。

開集合は $\varnothing ,\{1\},\{1,2\},X$。閉集合はその補集合で $X,\{2,3\},\{3\},\varnothing$。

$A=\{1,3\}$ の内部 $A^{\circ }$ は $A$ に含まれる最大の開集合である。$A$ に含まれる開集合は $\varnothing ,\{1\}$ なので $A^{\circ }=\{1\}$。

$A$ の閉包 $\overline{A}$ は $A$ を含む最小の閉集合である。$A$ を含む閉集合は $X$ だけ（$\{2,3\}$ は 1 を含まず、$\{3\}$ も 1 を含まない）なので $\overline{A}=X$。

よって $\partial A=\overline{A}\setminus A^{\circ }=X\setminus \{1\}=\{2,3\}$。

検算：点 2 の近傍は $\{1,2\},X$ で、どちらも $A$ と交わり、かつ $A^c=\{2\}$ とも交わるので境界点である。点 3 の近傍は $X$ のみで、$A$ と $A^c$ の両方と交わるので境界点である。点 1 は開集合 $\{1\}\subset A$ をもつので内点であり、境界点ではない。よって $\{2,3\}$ で正しい。