この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

集合と位相の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学集合と位相

集合 $X = {1, 2, 3}$ を考える。 $X$ の部分集合 $A$ で、 $A \neq = \emptyset, A \neq = {1}, A \neq = X$ を満たすものに対して、部分集合族
$O_{A} = {\emptyset, {1}, A, X}$
を考える。 $O_{A}$ が $X$ 上の位相（開集合系）になるような $A$ の個数を求めよ。

この問題で使うもの

有限集合上の位相（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（7 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「有限集合上の位相」を使い、位相の公理（ $\emptyset, X$ を含む・和で閉じる・有限個の共通部分で閉じる）を満たすかを候補ごとに判定しよう。

ヒント 2

$\emptyset$ と $X$ を含むことは自動的に成り立つ。実際に確かめるべきなのは ${1} \cup A$ と ${1} \cap A$ が $O_{A}$ に入るかどうかだけである。

ヒント 3

$A$ の候補は ${2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}$ の 5 個。たとえば $A = {2}$ のとき ${1} \cup {2} = {1, 2}$ は $O_{A}$ に入らない。残りの候補も同様に調べよう。

答えと解説

答えを見る

3

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

位相の公理は次の 3 つである。

$(1)$ $\emptyset \in O$ かつ $X \in O$

$(2)$ $O$ の元の和集合は $O$ に属する

$(3)$ $O$ の有限個の元の共通部分は $O$ に属する

$O_{A}$ には $\emptyset$ と $X$ が入っているので $(1)$ は常に成り立つ。また、 $\emptyset$ や $X$ との和・共通部分は $\emptyset, X$ 自身かもう一方の集合になるので、調べる必要があるのは ${1}$ と $A$ の組だけである。 $O_{A}$ は有限集合なので、 ${1} \cup A$ と ${1} \cap A$ がともに $O_{A}$ に入るかを確かめれば $(2)$ と $(3)$ がわかる。

条件から、 $A$ の候補は ${2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}$ の 5 個である。それぞれ調べる。

$A = {2}$ ： ${1} \cup {2} = {1, 2} \in / O_{A}$ なので位相ではない。
$A = {3}$ ： ${1} \cup {3} = {1, 3} \in / O_{A}$ なので位相ではない。
$A = {1, 2}$ ： ${1} \cup A = {1, 2} = A$ 、 ${1} \cap A = {1}$ で、ともに $O_{A}$ に属するので位相である。
$A = {1, 3}$ ： ${1} \cup A = A$ 、 ${1} \cap A = {1}$ で、位相である。
$A = {2, 3}$ ： ${1} \cup A = X$ 、 ${1} \cap A = \emptyset$ で、ともに $O_{A}$ に属するので位相である。

したがって条件を満たす $A$ は ${1, 2}, {1, 3}, {2, 3}$ の $3$ 個である。

別解

条件を満たす $A$ は ${2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}$ の 5 通りである。これらの $A$ は $\emptyset, {1}, X$ のいずれとも異なるので、 $O_{A}$ は 4 個の相異なる集合からなる。 $\emptyset$ と $X$ は含まれているので、あとは有限個の和集合と共通部分について閉じているかを調べればよい。

$A = {2}$ : ${1} \cup {2} = {1, 2} \in / O_{A}$ なので位相でない。
$A = {3}$ : ${1} \cup {3} = {1, 3} \in / O_{A}$ なので位相でない。
$A = {1, 2}$ : ${1} \subset A$ なので、和は $A$ 、共通部分は ${1}$ となり閉じている。位相である。
$A = {1, 3}$ : 同様に ${1} \subset A$ なので位相である。
$A = {2, 3}$ : ${1} \cup A = X$ 、 ${1} \cap A = \emptyset$ で閉じている。位相である。

したがって、位相になる $A$ は ${1, 2}, {1, 3}, {2, 3}$ の 3 個である。

集合と位相の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題