集合と位相の問題

手順 1：位相を前順序に置きかえる。
各点 $x\in X$ について、$x$ を含む開集合すべての共通部分を $U_x$ とする。$X$ は有限集合なので開集合は有限個しかなく、$U_x$ はその有限個の共通部分だから開集合である。つまり $U_x$ は $x$ を含む最小の開集合である。
$$x\le y⟺x\in U_y(⟺U_x\subseteq U_y)$$
と定めると、$\le$ は $X$ 上の前順序（反射律・推移律をみたす関係）になる。逆に前順序 $\le$ が与えられると、「$y\in U$ かつ $x\le y$ ならば $x\in U$」をみたす部分集合 $U$ 全体が位相になる。この 2 つの対応は互いに逆なので、$X$ 上の位相と $X$ 上の前順序は $1$ 対 $1$ に対応する。

手順 2：$\sim$ を前順序で言いかえる。
「すべての開集合 $U$ について $x\in U\iff y\in U$」は、$x$ を含む開集合と $y$ を含む開集合が同じであること、すなわち $U_x=U_y$ と同値である。これは $x\le y$ かつ $y\le x$ と同じである。
したがって $\sim$ の同値類は、前順序 $\le$ の「$x\le y$ かつ $y\le x$」で定まる同値類であり、前順序は
- $X$ の分割（同値類への分け方）と
- 同値類の集合の上の半順序

の組と $1$ 対 $1$ に対応する。

手順 3：数える。
- 同値類がちょうど $2$ 個になる $X$ の分割の個数は、第 $2$ 種スターリング数 $S(4,2)=7$ である（$1$ 個と $3$ 個に分ける ${}_4{\mathrm{C}}_1=4$ 通り、$2$ 個と $2$ 個に分ける $\frac{{}_4{\mathrm{C}}_2}{2}=3$ 通りで、計 $7$ 通り）。
- 同値類を $A,B$ とすると、$\{A,B\}$ 上の半順序は「比較不能」「$A<B$」「$B<A$」の $3$ 個である。

積の法則より、求める位相の個数は
$$7\times 3=21$$
である。

（例：分割 $\{1\},\{2,3,4\}$ に対し、比較不能なら $\{\varnothing ,\{1\},\{2,3,4\},X\}$、$\{1\}<\{2,3,4\}$ なら $\{\varnothing ,\{1\},X\}$、$\{2,3,4\}<\{1\}$ なら $\{\varnothing ,\{2,3,4\},X\}$ の $3$ つの位相が得られる。）

答え：$21$

同値関係 $x\sim y$ は「$x,y$ が位相的に区別できない」ことを表す。開集合系 $\mathcal{O}$ はそれぞれの同値類の和集合だけから成るので、$\mathcal{O}$ は商空間 $X/\sim$ 上の位相と同一視できる。しかも商空間では異なる 2 点は区別できるので、商空間は $T_0$ 空間である。

逆に、$X$ を 2 つのブロックに分割する方法を 1 つ決め、その 2 点の商集合に $T_0$ 位相を 1 つ決めれば、$X$ 上の位相でちょうど 2 個の同値類をもつものが 1 つ決まる。この対応は 1 対 1 である。

1. $X$ を 2 つの空でないブロックに分ける方法は、第2種スターリング数で $S(4,2)=7$ 通りである。
2. 2 点集合 $\{a,b\}$ 上の $T_0$ 位相は次の 3 つである。
- 離散位相 $\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$
- $\{\varnothing ,\{a\},\{a,b\}\}$
- $\{\varnothing ,\{b\},\{a,b\}\}$
密着位相は $a\sim b$ となるので除く。

よって個数は $7\times 3=21$。

検算として、ブロックが $\{1,2\},\{3,4\}$ のとき、開集合系は $\{\varnothing ,\{1,2\},X\}$、$\{\varnothing ,\{3,4\},X\}$、$\{\varnothing ,\{1,2\},\{3,4\},X\}$ の 3 つで、これらはどれも同値類がちょうど 2 個である。