集合と位相の問題

手順 1: 位相を前順序に置き換える。 $X$ 上の位相 $\mathcal{O}$ に対して、$X$ 上の関係 $\le$ を
$$x\le y⟺x\in U_y⟺U_x\subseteq U_y$$
で定める。これは前順序（反射律と推移律を満たす関係）である。逆に前順序 $\le$ が与えられると、$U_y=\{x\mid x\le y\}$ の形の集合の和として表される集合全体が位相になる。この対応によって、有限集合上の位相と前順序は 1 対 1 に対応する。

手順 2: 条件を前順序のことばで言い換える。 $U_x=U_y$ は $U_x\subseteq U_y$ かつ $U_y\subseteq U_x$、すなわち「$x\le y$ かつ $y\le x$」と同じである。この関係 $x\sim y$ は同値関係である。よって、相異なる $U_x$ の個数は $\sim$ の同値類の個数に等しい。したがって数えるべきものは、同値類がちょうど $2$ 個である前順序である。

手順 3: 前順序を「分割」と「半順序」に分ける。 前順序は、次の 2 つを組にしたものと 1 対 1 に対応する。
- $X$ の同値類への分割
- 同値類の集合の上の半順序

• 4 元集合を $2$ ブロックに分ける方法は $S(4,2)=7$ 通りある。
• 2 つの類 $A,B$ の上の半順序は、「比較不能」「$A<B$」「$B<A$」の $3$ 通りある。

よって、積の法則より
$$7\times 3=21$$

確認. 比較不能の場合は、位相は $\{\varnothing ,A,B,X\}$（$B=X\setminus A$）で、$7$ 個ある。$A<B$ の場合は、$A$ の点の最小開集合が $A$、$B$ の点の最小開集合が $X$ なので、位相は $\{\varnothing ,A,X\}$ である。$A$ は空でない真部分集合なので $2^4-2=14$ 個ある。合計は $7+14=21$ で、上の結果と一致する。

答えは $21$ である。

有限集合 $X$ 上の位相と前順序（反射的かつ推移的な二項関係）は一対一に対応する。対応は $x\le y⟺x\in U_y$ で与えられる。このとき $U_x=U_y$ となるのは $x\le y$ かつ $y\le x$ のとき、かつそのときに限る。したがって、相異なる $U_x$ の個数は、この前順序による同値類の個数に等しい。

求める個数は、4 点上の前順序のうち同値類がちょうど 2 個のものの個数である。

1. $X$ を 2 つの同値類に分ける分け方は、第 2 種スターリング数 $S(4,2)=7$ 通りある。
2. 2 つの同値類 $A,B$ の間の順序は、(i) 比較不能、(ii) $A<B$、(iii) $B<A$ の 3 通りである。同値類は互いに区別できるので、この 3 通りはすべて異なる位相を与える。

よって $7\times 3=21$ 個となる。

検算として、2 点集合上の $T_0$ 位相は 3 個（離散位相、シェルピンスキー空間 2 種）である。これと分割の個数 7 の積を取っても 21 になり、一致する。