集合と位相の問題

$k$ 個の元からなる集合上の連結な位相の個数を $C(k)$ とおく。

分解の一意性. 有限位相空間 $(X,\mathcal{O})$ の連結成分は有限個で、どれも閉集合である。ある成分の補集合は残りの有限個の成分（閉集合）の和なので閉集合となり、各成分は開集合でもある。各成分 $K$ が開集合なので、$U\subset X$ が開集合であることと、すべての成分 $K$ について $U\cap K$ が $K$ の相対位相で開集合であることは同値である（$U$ が開なら $U\cap K$ は相対位相で開。逆に $U\cap K$ が相対位相で開なら、$K$ が開なので $U\cap K$ は $X$ で開であり、$U={\bigcup }_K(U\cap K)$ も開）。したがって位相 $\mathcal{O}$ は、次の 2 つで一意に決まる。

• $X$ の分割（連結成分への分け方）
• 各ブロック上の連結な位相

逆に、分割と各ブロック上の連結な位相を与えると、それらの直和位相の連結成分はちょうどそのブロックになる。よってこの対応は全単射であり、連結でない位相は、ブロックが $2$ 個以上の分割ごとに数えられる。

$C(1),C(2)$. $C(1)=1$ である。$2$ 点集合 $\{a,b\}$ 上の位相は
$$\{\varnothing ,\{a,b\}\},\{\varnothing ,\{a\},\{a,b\}\},\{\varnothing ,\{b\},\{a,b\}\},\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$$
の $4$ 個で、連結でないのは離散位相だけである。よって $C(2)=3$。

$C(3)$. $3$ 点集合で連結でない位相は次のとおり。

• 型 $2+1$：分割は $3$ 通りで、$2$ 点ブロック上の連結位相が $C(2)=3$ 個あるので $3\cdot 3=9$ 個
• 型 $1+1+1$：$1$ 個

よって
$$C(3)=T(3)-(9+1)=29-10=19.$$

$C(4)$. $X=\{1,2,3,4\}$ で連結でない位相を、分割の型ごとに数える。

• 型 $3+1$：分割は $4$ 通りで、各 $C(3)=19$ 個 → $4\cdot 19=76$
• 型 $2+2$：分割は $3$ 通りで、各 $C(2{)}^2=9$ 個 → $3\cdot 9=27$
• 型 $2+1+1$：分割は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ 通りで、各 $C(2)=3$ 個 → $18$
• 型 $1+1+1+1$：$1$ 個

合計は $76+27+18+1=122$ 個である。したがって
$$C(4)=T(4)-122=355-122=233.$$

求める個数は $233$ である。

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ が非連結であることは、$\varnothing ,X$ 以外の開かつ閉な集合が存在することと同値である。有限集合上の位相は前順序と1対1に対応し、前順序の比較可能性で結ばれた連結成分ごとに位相が直和に分かれる。

連結な位相の個数を $C(n)$ とし、$T(0)=1$ とする。$X$ を連結成分に分割すると、指数型母関数について
${\sum }_{n\ge 0}T(n)\frac{x^n}{n!}=\exp \left({\sum }_{n\ge 1}C(n)\frac{x^n}{n!}\right)$
が成り立つ。

$T(1)=1,T(2)=4,T(3)=29,T(4)=355$ を用いて順に求める。
- $C(1)=1$
- $C(2)=T(2)-C(1{)}^2=4-1=3$
- $C(3)=T(3)-(3C(1)C(2)+C(1{)}^3)=29-(9+1)=19$
- $C(4)=T(4)-(4C(1)C(3)+3C(2{)}^2+6C(1{)}^{2}C(2)+C(1{)}^4)=355-(76+27+18+1)=355-122=233$

$n=4$ の括弧内は、4点の分割型ごとの個数で、型 $(1,3)$ が4通り、$(2,2)$ が3通り、$(1,1,2)$ が6通り、$(1,1,1,1)$ が1通りである。

検算として $C(2)=3$ は、密着位相とシェルピンスキー型2つの計3個で、離散位相を除いた数に一致する。

よって求める個数は 233。