集合と位相の問題

$\mathcal{O}$ は $\varnothing$ と $X$ を含むので、開集合がちょうど $4$ 個のとき
$$\mathcal{O}=\{\varnothing ,A,B,X\}$$
と書ける。ここで $A,B$ は空でない $X$ の真部分集合で、$A\ne B$ である。$X$ は有限集合なので、位相の条件は「$A\cup B$ と $A\cap B$ がともに $\mathcal{O}$ に属する」ことと同じである（$\varnothing ,X$ との和・共通部分は自動的に $\mathcal{O}$ に入る）。

(1) $A$ と $B$ に包含関係があるとき. $A⊊B$ としてよい。このとき $A\cup B=B$、$A\cap B=A$ なので条件は自動的に満たされる。よって
$$\varnothing \ne A⊊B⊊X$$
となる組 $(A,B)$ の個数を数えればよい（$A⊊B$ と決めたので、$\mathcal{O}$ と組 $(A,B)$ は $1$ 対 $1$ に対応する）。各元 $x\in X$ が「$A$ に属する」「$B\setminus A$ に属する」「$X\setminus B$ に属する」の $3$ つのどれに入るかを決めることと同じで、$3$ つとも空でない必要がある。これは $5$ 元集合から $3$ 元集合への全射の個数であり、包除原理より
$$3^5-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)2^5+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)1^5=243-96+3=150.$$

(2) $A$ と $B$ に包含関係がないとき. $A\cup B$ は $A$ とも $B$ とも異なり、空でもないので $A\cup B=X$ でなければならない。同様に $A\cap B$ は $A$ とも $B$ とも異なり、$X$ でもないので $A\cap B=\varnothing$ でなければならない。よって $\{A,B\}$ は $X$ を空でない $2$ つの部分に分ける分割であり、逆にそのような分割から位相が得られる。その個数は、$X$ の空でない真部分集合 $2^5-2=30$ 個を、補集合どうしの組にまとめて
$$\frac{2^5-2}{2}=15.$$

(3) 合計. (1) と (2) は重ならないので、求める個数は
$$150+15=165.$$

$\mathcal{O}=\{\varnothing ,X,A,B\}$ とおく。ここで $A,B$ は互いに異なる $X$ の空でない真部分集合。$\mathcal{O}$ が位相であるための条件は、$A\cap B$ と $A\cup B$ が $\mathcal{O}$ に属すること（他の組の共通部分・和集合は自明に閉じている）。

(i) $A⊊B$（または $B⊊A$）の場合: $A\cap B=A$、$A\cup B=B$ なので位相になる。これは $\varnothing ⊊A⊊B⊊X$ という鎖で、$X$ を順序つきの空でない 3 つのブロック $(A,B\setminus A,X\setminus B)$ に分けることと同じ。個数は $3!\cdot S(5,3)=6\cdot 25=150$（$S(5,3)=25$ は第 2 種スターリング数）。

(ii) $A,B$ が包含関係にない場合: $A\cap B\in \{\varnothing ,X,A,B\}$ かつ包含関係がないので $A\cap B=\varnothing$ しかありえず、同様に $A\cup B=X$ となる。したがって $B=X\setminus A$。このような $\{A,B\}$ は、$X$ の空でない真部分集合 $2^5-2=30$ 個を補集合どうしの組にしたもので $30/2=15$ 通り。

合計は $150+15=165$。

検算: (i) の個数を別に数える。$|A|=a,|B|=b$（$1\le a<b\le 4$）として $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{b}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{a}\right)$ の和を取ると、$(a,b)=(1,2):10\cdot 2=20$、$(1,3):10\cdot 3=30$、$(1,4):5\cdot 4=20$、$(2,3):10\cdot 3=30$、$(2,4):5\cdot 6=30$、$(3,4):5\cdot 4=20$ で合計 $150$ となり一致。よって $150+15=165$。