集合と位相の問題

以下、${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=(2^{{\aleph }_0}{)}^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0\cdot {\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ と、ベルンシュタインの定理（$|A|\le |B|$ かつ $|B|\le |A|$ なら $|A|=|B|$）を使う。

$(1)$ $\mathfrak{c}$。連続関数は $\mathbb{Q}$ 上の値で決まる（$\mathbb{Q}$ は稠密）ので、$f\mapsto f{|}_{\mathbb{Q}}$ は ${\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}$ への単射で、濃度は ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 以下。定数関数だけで $\mathfrak{c}$ 個あるので $\mathfrak{c}$ 以上。

$(2)$ ${\aleph }_0$。要素数 $n$ の部分集合全体は ${\mathbb{Q}}^n$ に単射で写るので可算、その $n=0,1,2,\dots$ にわたる和も可算。単元集合だけで無限個あるので濃度は ${\aleph }_0$。

$(3)$ $\mathfrak{c}$。単調増加関数 $f$ の不連続点の集合 $D_f$ は可算である（各不連続点 $x$ で開区間 $(f(x-0),f(x+0))$ が空でなく、それらは互いに交わらないので、それぞれに含まれる有理数のうち番号最小のものを対応させれば $\mathbb{Q}$ への単射ができる）。連続点での値は有理数での値から極限で決まるので、$f$ は組 $(f{|}_{\mathbb{Q}},D_f,f{|}_{D_f})$ で決まる。$\mathbb{R}$ の可算部分集合 $D$ 全体の濃度は ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 以下、各 $D$ 上の関数は ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 個以下なので、全体で $\mathfrak{c}\cdot \mathfrak{c}\cdot \mathfrak{c}=\mathfrak{c}$ 以下。$f(x)=x+t(t\in \mathbb{R})$ で $\mathfrak{c}$ 以上。

$(4)$ $2^{\mathfrak{c}}$（$\mathfrak{c}$ ではない）。カントール集合を $K={\bigcap }_n{K}_n$ とする。ここで $K_n$ は $[0,1]$ から中央の $1/3$ を取り除く操作を $n$ 回行って残る、長さ $3^{-n}$ の $2^n$ 個の閉区間 $[a_1,b_1],\dots ,[a_{2^n},b_{2^n}]$（$a_1=0<b_1<a_2<\cdots <b_{2^n}=1$）の和集合であり、隣り合う区間の隙間 $(b_j,a_{j+1})$ の長さはどれも $3^{-n}$ 以上である。$K$ は濃度 $\mathfrak{c}$ をもつ（各点が $0,2$ だけを使う $3$ 進展開と 1 対 1 に対応する）。

$K$ の任意の部分集合 $S$ に対し、特性関数 ${\chi }_S$（$S$ 上で $1$、それ以外で $0$）がリーマン積分可能であることを示す。$\delta =3^{-n}/4$ とし、各区間を両側に $\delta$ ずつ広げた $[a_j-\delta ,b_j+\delta ]$ を考える（ただし $0$ より左、$1$ より右ははみ出さないよう $0,1$ で切る）。$2\delta <3^{-n}$ なので広げた区間どうしは交わらず、点 $b_j+\delta ,a_{j+1}-\delta$ は隙間 $(b_j,a_{j+1})$ の内部にあって $K$ に属さない。そこで
$$0<b_1+\delta <a_2-\delta <b_2+\delta <\cdots <a_{2^n}-\delta <1$$
を分点とする分割 ${\Delta }_n$ をとる。${\Delta }_n$ の小区間は、広げた区間 $[a_j-\delta ,b_j+\delta ]\cap [0,1]$（$2^n$ 個）と、隙間に含まれる閉区間 $[b_j+\delta ,a_{j+1}-\delta ]$ の $2$ 種類である。後者は端点も含めて $K$ と交わらないので、その上で ${\chi }_S=0$ である。前者の上では ${\chi }_S\le 1$ である。よって上限和は
$$U({\chi }_S,{\Delta }_n)\le 2^n\left(3^{-n}+2\delta \right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^n+\frac{1}{2}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n=\frac{3}{2}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n,$$
下限和は $L({\chi }_S,{\Delta }_n)\ge 0$ である。また ${\chi }_S$ はどの区間でも下限が $0$ なので下限和は $0$。$n\to \infty$ で $U-L\to 0$ となるから、${\chi }_S$ はリーマン積分可能で積分値は $0$ である。

$S$ が異なれば ${\chi }_S$ も異なるので、この集合の濃度は $|\mathcal{P}(K)|=2^{\mathfrak{c}}$ 以上。一方、$[0,1]$ 上の実数値関数全体は ${\mathfrak{c}}^{\mathfrak{c}}=2^{{\aleph }_0\cdot \mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$ なので、ちょうど $2^{\mathfrak{c}}$。カントールの定理より $2^{\mathfrak{c}}>\mathfrak{c}$ なので、$\mathfrak{c}$ ではない。

$(5)$ $\mathfrak{c}$。同値関係は正の整数の組全体 ${\mathbb{Z}}_{>0}\times {\mathbb{Z}}_{>0}$（可算）の部分集合なので $2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 以下。$2$ 以上の整数の集合 $A$ に対し「$\{1\}\cup A$ を 1 つの類、残りを 1 点ずつの類とする同値関係」を対応させると、$A$ が異なれば同値関係も異なるので、$\mathfrak{c}$ 以上。

$(6)$ ${\aleph }_0$。整数係数多項式全体は可算で、$0$ でない多項式の実根は有限個（小さい順に並べられる）なので、可算個の有限集合の和として可算。すべての整数を含むので無限。

$(7)$ $\mathfrak{c}$。開集合 $U$ は、$U$ に含まれる「有理数を端点とする開区間」すべての和集合に等しいので、そのような区間の集合（可算集合の部分集合）で決まり、$2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 以下。$(t,\infty )(t\in \mathbb{R})$ で $\mathfrak{c}$ 以上。

$(8)$ $\mathfrak{c}$。このような $f$ は有限集合 $f^{-1}(1)\subset \mathbb{R}$ と 1 対 1 に対応する。要素数 $n$ の有限部分集合は ${\mathbb{R}}^n$（濃度 $\mathfrak{c}$）に単射で写る（小さい順に並べる）ので、全体は ${\aleph }_0\cdot \mathfrak{c}=\mathfrak{c}$ 以下。単元集合で $\mathfrak{c}$ 以上。

以上より、濃度が $\mathfrak{c}$ のものは $(1),(3),(5),(7),(8)$ の $5$ 個である。

各集合の濃度を調べる。

(1) 連続関数は $\mathbb{Q}$ 上の値で決まるので、$|C(\mathbb{R})|\le {\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$。定数関数が $\mathfrak{c}$ 個あるので濃度は $\mathfrak{c}$。

(2) $\mathbb{Q}$ の有限部分集合全体は ${\bigcup }_n{\mathbb{Q}}^n$ に対応する可算個の可算集合の和で、可算（${\aleph }_0$）。$\mathfrak{c}$ ではない。

(3) 単調増加関数は、$\mathbb{Q}$ 上の値と高々可算個の不連続点での左右の極限で決まるので濃度は高々 $\mathfrak{c}$。$f(x)=x+a$ ($a\in \mathbb{R}$) が $\mathfrak{c}$ 個あるので濃度は $\mathfrak{c}$。

(4) カントール集合 $C$ は測度 0 で濃度 $\mathfrak{c}$。$C$ の任意の部分集合 $A$ について、$A$ の上で $1$、それ以外で $0$ とする関数の不連続点は $C$ に含まれ測度 0 なので、ルベーグの判定条件によりリーマン積分可能。よって少なくとも $2^{\mathfrak{c}}$ 個あり、濃度は $2^{\mathfrak{c}}>\mathfrak{c}$。

(5) 同値関係は直積 ${\mathbb{N}}_{>0}\times {\mathbb{N}}_{>0}$ の部分集合なので高々 $2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 個。下からは、$S\subset \{3,4,5,\dots \}$ に対し、$S$ の元を $1$ と同値、それ以外の元を $2$ と同値とする（かつ $1,2$ は別類）とすると互いに異なる同値関係が $\mathfrak{c}$ 個得られる。よって濃度は $\mathfrak{c}$。

(6) 整数係数多項式は可算個で、それぞれ根は有限個なので、実代数的数全体は可算。$\mathfrak{c}$ ではない。

(7) 開集合は開区間（有理端点）の和集合で決まるので高々 $2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$。開区間 $(a,\infty )$ が $\mathfrak{c}$ 個あるので濃度は $\mathfrak{c}$。

(8) $f$ は $\{x:f(x)=1\}$ という $\mathbb{R}$ の有限部分集合と一対一に対応する。$\mathbb{R}$ の有限部分集合全体は $\mathfrak{c}$（一元集合だけで $\mathfrak{c}$ 個、全体は ${\bigcup }_n{\mathbb{R}}^n$ の像で高々 $\mathfrak{c}$）。

以上より、濃度がちょうど $\mathfrak{c}$ なのは (1),(3),(5),(7),(8) の 5 個。

確かめ: (2),(6) は可算、(4) は $2^{\mathfrak{c}}$ で、いずれも $\mathfrak{c}$ ではない。