集合と位相の問題

$\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}=|\mathbb{R}|$ と書く。基数の演算 ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=(2^{{\aleph }_0}{)}^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0\cdot {\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ と、ベルンシュタインの定理（$A$ から $B$ への単射と $B$ から $A$ への単射があれば $|A|=|B|$）を使う。

$(1)$ 写像 ${\mathbb{Z}}_{>0}\to \{0,1\}$ 全体の濃度は定義により $2^{{\aleph }_0}$。該当する。

$(2)$ $|\mathbb{Q}|={\aleph }_0$ なので $|\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}|={\aleph }_0\cdot {\aleph }_0={\aleph }_0$。該当しない。

$(3)$ 有限部分集合 $S$ に ${\sum }_{n\in S}{2}^{n-1}$ を対応させると、0 以上の整数全体への全単射になる（2 進法の表示の一意性）。よって濃度は ${\aleph }_0$。該当しない。

$(4)$ 定数多項式を考えれば $\mathbb{R}\to \mathbb{R}[x]$ の単射がある。逆に、多項式 $c_0+c_{1}x+\cdots +c_n{x}^n$ に係数の列 $(c_0,c_1,\dots ,c_n,0,0,\dots )$ を対応させると、$\mathbb{R}[x]$ から実数列全体 ${\mathbb{R}}^{{\mathbb{Z}}_{>0}}$ への単射になり、$|{\mathbb{R}}^{{\mathbb{Z}}_{>0}}|={\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$。ベルンシュタインの定理より $|\mathbb{R}[x]|=\mathfrak{c}$。該当する。

$(5)$ 定数関数を考えれば濃度は $\mathfrak{c}$ 以上。逆に、連続関数 $f$ に $\mathbb{Q}$ への制限 $f{|}_{\mathbb{Q}}$ を対応させる。$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ で稠密なので、任意の $x$ に収束する有理数列 $q_k$ をとれば $f(x)={\lim }_{k\to \infty }f(q_k)$ となり、連続関数は $\mathbb{Q}$ 上の値で決まる。よってこの対応は単射で、行き先 ${\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}$ の濃度は ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$。ベルンシュタインの定理より濃度は $\mathfrak{c}$。該当する。

$(6)$ 写像全体 ${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$ は、$\{0,1\}$ に値をとる写像全体 $\{0,1{\}}^{\mathbb{R}}$ を含み、これは $\mathbb{R}$ の部分集合全体（特性関数）と 1 対 1 に対応する。カントールの定理より $|\{0,1{\}}^{\mathbb{R}}|=2^{\mathfrak{c}}>\mathfrak{c}$。実際 $|{\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}|={\mathfrak{c}}^{\mathfrak{c}}=2^{{\aleph }_0\cdot \mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$ である。該当しない。

$(7)$ 整数係数の多項式は係数の有限列で決まるので、全体は可算個である。$0$ でない多項式の実根は有限個（次数以下）で、大きさの順に並べられる。したがって実の代数的数は「可算個の有限集合の和集合」として番号付けでき、濃度は高々 ${\aleph }_0$。一方、整数はすべて代数的数なので無限集合であり、濃度は ${\aleph }_0$。該当しない。

$(8)$ 狭義単調増加の無限数列は、その値の集合 $\{a_1,a_2,\dots \}$（${\mathbb{Z}}_{>0}$ の無限部分集合）と 1 対 1 に対応する（無限部分集合の要素を小さい順に並べれば数列に戻る）。無限部分集合全体は $\mathcal{P}({\mathbb{Z}}_{>0})$ に含まれるので濃度は $2^{{\aleph }_0}$ 以下。逆に、$0,1$ の列 $(x_n)$ に集合 $\{2n+x_n\mid n\in {\mathbb{Z}}_{>0}\}$ を対応させると、各 $n$ について $2n$ と $2n+1$ のどちらが入るかで $x_n$ が読み取れるので単射であり、像はすべて無限集合である。よって濃度は $2^{{\aleph }_0}$ 以上。ベルンシュタインの定理より濃度は $2^{{\aleph }_0}$。該当する。

以上より、濃度が $2^{{\aleph }_0}$ であるのは $(1),(4),(5),(8)$ で、答えは $\{1,4,5,8\}$。

各集合の濃度を調べる。

(1) $\{0,1{\}}^{{\mathbb{Z}}_{>0}}$ の濃度は $2^{{\aleph }_0}$。該当する。

(2) $\mathbb{Q}$ は可算なので $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ も可算（${\aleph }_0$）。該当しない。

(3) 有限部分集合全体は、要素数 $n$ ごとの ${\mathbb{Z}}_{>0}^n$ の可算和（各々可算）なので可算（${\aleph }_0$）。該当しない。

(4) $\mathbb{R}[x]$ は次数 $n$ ごとの ${\mathbb{R}}^{n+1}$ の可算和で、各々濃度 $2^{{\aleph }_0}$ なので全体も $2^{{\aleph }_0}\cdot {\aleph }_0=2^{{\aleph }_0}$。定数多項式が $\mathbb{R}$ と同じ濃度であることから下からも抑えられる。該当する。

(5) 連続関数は $\mathbb{Q}$ 上の値で決まるので、${\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}$ への単射があり濃度は $(2^{{\aleph }_0}{)}^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0}$ 以下。定数関数により下からも $2^{{\aleph }_0}$ 以上。よって $2^{{\aleph }_0}$。該当する。

(6) ${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}$ の濃度は $(2^{{\aleph }_0}{)}^{2^{{\aleph }_0}}=2^{2^{{\aleph }_0}}>2^{{\aleph }_0}$（カントールの定理）。該当しない。

(7) 実代数的数は、整数係数の多項式（可算個）ごとに高々有限個の根をもつので可算。該当しない。

(8) 狭義単調増加な無限数列は、${\mathbb{Z}}_{>0}$ の無限部分集合と一対一に対応する。無限部分集合全体の濃度は、全部分集合 $2^{{\aleph }_0}$ から有限部分集合（可算個）を除いたものなので $2^{{\aleph }_0}$。該当する。

以上より、濃度が $2^{{\aleph }_0}$ のものは (1), (4), (5), (8)。