集合と位相の問題

$\mathfrak{c}=|\mathbb{R}|=2^{{\aleph }_0}$, $\mathfrak{d}=|\mathcal{P}(\mathbb{R})|=2^{\mathfrak{c}}$, $\mathfrak{e}=2^{\mathfrak{d}}$ とおく。$|X^Y|=|X{|}^{|Y|}$ なので、$S=\{0,1,2,3,{\aleph }_0,\mathfrak{c},\mathfrak{d}\}$ の元 $\kappa ,\lambda$ に対して基数のべき ${\kappa }^{\lambda }$ がとる値の種類を数えればよい。

準備（基数演算の基本法則） 濃度の大小の比較にはベルンシュタインの定理を使う。また指数法則 $({\kappa }^{\lambda }{)}^{\mu }={\kappa }^{\lambda \mu }$, ${\kappa }^{\lambda +\mu }={\kappa }^{\lambda }{\kappa }^{\mu }$ と、単調性（$\kappa \le {\kappa }^{\prime }$ ならば ${\kappa }^{\lambda }\le {\kappa }^{\prime \lambda }$、$\kappa \ge 1$ かつ $\lambda \le {\lambda }^{\prime }$ ならば ${\kappa }^{\lambda }\le {\kappa }^{{\lambda }^{\prime }}$）を使う。これらはいずれも具体的な写像を構成して示せるので、選択公理は不要である。

• ${\aleph }_0+{\aleph }_0={\aleph }_0\cdot {\aleph }_0={\aleph }_0$ である。
• $\mathfrak{c}\cdot \mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0+{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ であり、$\mathfrak{c}\le {\aleph }_0\cdot \mathfrak{c}\le \mathfrak{c}\cdot \mathfrak{c}=\mathfrak{c}$ である。
• $\mathfrak{c}+\mathfrak{c}=2\cdot 2^{{\aleph }_0}=2^{1+{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ より、$\mathfrak{d}\cdot \mathfrak{d}=2^{\mathfrak{c}+\mathfrak{c}}=\mathfrak{d}$ である。よって $\mathfrak{d}\le \mathfrak{c}\cdot \mathfrak{d}\le \mathfrak{d}\cdot \mathfrak{d}=\mathfrak{d}$ となる。
• カントールの定理より ${\aleph }_0<\mathfrak{c}<\mathfrak{d}<\mathfrak{e}$ である。

表の計算 指数 $\lambda$ の順は $0,1,2,3,{\aleph }_0,\mathfrak{c},\mathfrak{d}$ とする。

• 底 $0$: $0^0=1$ であり、$\lambda \ge 1$ のとき $0^{\lambda }=0$ である。
• 底 $1$: すべて $1$ である。
• 底 $2$: $1,2,4,8,\mathfrak{c},\mathfrak{d},\mathfrak{e}$ となる。
• 底 $3$: 有限の指数では $1,3,9,27$ である。無限の指数 $\lambda$ については $2^{\lambda }\le 3^{\lambda }\le (2^{\lambda }{)}^{\lambda }=2^{\lambda \cdot \lambda }$ が成り立つ。$\lambda \cdot \lambda =\lambda$（$\lambda ={\aleph }_0,\mathfrak{c},\mathfrak{d}$）なので、$3^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$, $3^{\mathfrak{c}}=\mathfrak{d}$, $3^{\mathfrak{d}}=\mathfrak{e}$ となる。
• 底 ${\aleph }_0$: ${\aleph }_0^0=1$ である。$n=1,2,3$ のとき ${\aleph }_0^n={\aleph }_0$ である。無限の $\lambda$ については $2^{\lambda }\le {\aleph }_0^{\lambda }\le (2^{{\aleph }_0}{)}^{\lambda }=2^{{\aleph }_0\lambda }=2^{\lambda }$ が成り立つ（${\aleph }_0\lambda =\lambda$ は準備で示した）。よって $\mathfrak{c},\mathfrak{d},\mathfrak{e}$ となる。
• 底 $\mathfrak{c}$: ${\mathfrak{c}}^0=1$, ${\mathfrak{c}}^1=\mathfrak{c}$, ${\mathfrak{c}}^2=\mathfrak{c}$, ${\mathfrak{c}}^3=\mathfrak{c}$ である。さらに ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$, ${\mathfrak{c}}^{\mathfrak{c}}=2^{{\aleph }_0\mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}=\mathfrak{d}$, ${\mathfrak{c}}^{\mathfrak{d}}=2^{{\aleph }_0\mathfrak{d}}=2^{\mathfrak{d}}=\mathfrak{e}$ である。ここで ${\aleph }_0\mathfrak{d}=\mathfrak{d}$ は $\mathfrak{d}\le {\aleph }_0\mathfrak{d}\le \mathfrak{cd}=\mathfrak{d}$ からわかる。
• 底 $\mathfrak{d}$: ${\mathfrak{d}}^0=1$ であり、$n=1,2,3$ のとき ${\mathfrak{d}}^n=\mathfrak{d}$ である。さらに ${\mathfrak{d}}^{{\aleph }_0}=2^{\mathfrak{c}{\aleph }_0}=2^{\mathfrak{c}}=\mathfrak{d}$, ${\mathfrak{d}}^{\mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{cc}}=2^{\mathfrak{c}}=\mathfrak{d}$, ${\mathfrak{d}}^{\mathfrak{d}}=2^{\mathfrak{cd}}=2^{\mathfrak{d}}=\mathfrak{e}$ である。

集計 現れる値は次のとおりである。
$$0,1,2,3,4,8,9,27,{\aleph }_0,\mathfrak{c},\mathfrak{d},\mathfrak{e}$$
有限の値 $8$ 個は互いに異なる。無限の値 $4$ 個はカントールの定理により互いに異なり、有限の値とも異なる。したがって濃度は全部で $12$ 種類である。

各集合の濃度を $0,1,2,3,{\aleph }_0,\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0},2^{\mathfrak{c}}$ とし、$|X^Y|=|X{|}^{|Y|}$ を各 $Y$ について調べる。

• $Y=\varnothing$: どの $X$ でも $X^{\varnothing }$ は 1 個の元からなるので、濃度は $1$。
• $|Y|=1$: $|X|$ となり、$0,1,2,3,{\aleph }_0,\mathfrak{c},2^{\mathfrak{c}}$。
• $|Y|=2$: $|X{|}^2$ となり、$0,1,4,9,{\aleph }_0,\mathfrak{c},2^{\mathfrak{c}}$。
• $|Y|=3$: $|X{|}^3$ となり、$0,1,8,27,{\aleph }_0,\mathfrak{c},2^{\mathfrak{c}}$。
• $|Y|={\aleph }_0$: $0^{{\aleph }_0}=0$、$1^{{\aleph }_0}=1$、$2^{{\aleph }_0}=3^{{\aleph }_0}={\aleph }_0^{{\aleph }_0}={\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$、$(2^{\mathfrak{c}}{)}^{{\aleph }_0}=2^{\mathfrak{c}\cdot {\aleph }_0}=2^{\mathfrak{c}}$。
• $|Y|=\mathfrak{c}$: $0,1$、および $2^{\mathfrak{c}}$。$2,3,{\aleph }_0,\mathfrak{c}$ のどれを底にしても $2^{\mathfrak{c}}\le |X{|}^{\mathfrak{c}}\le {\mathfrak{c}}^{\mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$ なので $2^{\mathfrak{c}}$。$(2^{\mathfrak{c}}{)}^{\mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$。
• $|Y|=2^{\mathfrak{c}}$: $0,1$、および $2^{2^{\mathfrak{c}}}$。$2,3,{\aleph }_0,\mathfrak{c}$ を底にしても同様に $2^{2^{\mathfrak{c}}}$ で、$(2^{\mathfrak{c}}{)}^{2^{\mathfrak{c}}}=2^{\mathfrak{c}\cdot 2^{\mathfrak{c}}}=2^{2^{\mathfrak{c}}}$。

現れる値は $0,1,2,3,4,8,9,27,{\aleph }_0,\mathfrak{c},2^{\mathfrak{c}},2^{2^{\mathfrak{c}}}$ の 12 種類。有限の値 8 個はすべて異なり、無限の値 4 個もカントールの定理により互いに異なる。