集合と位相の問題

1. 各 $X_i$ の濃度

以下、濃度の比較にはベルンシュタインの定理（双方向の単射があれば濃度が等しい）を用いる。また、基数の演算法則 $({\kappa }^{\lambda }{)}^{\mu }={\kappa }^{\lambda \mu }$、${\kappa }^{\lambda +\mu }={\kappa }^{\lambda }{\kappa }^{\mu }$ は具体的な全単射によって示される。特に $\mathfrak{c}\cdot \mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}\cdot 2^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0+{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ であり、${\aleph }_0\cdot {\aleph }_0={\aleph }_0$ である。

- $|X_1|=3$ である。
- $|X_2|={\aleph }_0$ である。$\mathbb{Q}\subset X_2$ なので $X_2$ は無限集合である。一方、$n$ 次の整数係数多項式全体は ${\mathbb{Z}}^{n+1}$ の部分集合なので可算であり、$n$ について合わせても可算である。各多項式の実数解は高々 $n$ 個なので、代数的数 $\alpha$ に「$\alpha$ を解にもつ多項式の番号のうち最小のもの」と「その解の中で $\alpha$ が小さい方から何番目か」の組を対応させると、$\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ への単射が得られる。
- $|X_3|=\mathfrak{c}$ である。$a\mapsto (a,\infty )$ は $\mathbb{R}\to X_3$ の単射である。逆向きには、開集合 $U$ に
$$U\mapsto \{(p,q)\in {\mathbb{Q}}^2\mid p<q,(p,q)\subset U\}$$
を対応させる。$U$ はこれらの有理端点の区間の和集合に等しいので、この対応は単射である。行き先は $\mathcal{P}({\mathbb{Q}}^2)$ で、その濃度は $2^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ である。
- $|X_4|=\mathfrak{c}$ である。定数関数を考えれば $\mathfrak{c}\le |X_4|$ となる。連続関数は $\mathbb{Q}$ 上の値で決まる（$\mathbb{Q}$ の稠密性と連続性による）ので、$f\mapsto f{|}_{\mathbb{Q}}$ は $X_4\to {\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}$ の単射である。そして $|{\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}|=(2^{{\aleph }_0}{)}^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0\cdot {\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ である。
- $|X_5|=2^{\mathfrak{c}}$ である。上からは $|X_5|\le |{\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}|={\mathfrak{c}}^{\mathfrak{c}}=(2^{{\aleph }_0}{)}^{\mathfrak{c}}=2^{{\aleph }_0\cdot \mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$ と評価できる（$\mathfrak{c}\le {\aleph }_0\mathfrak{c}\le \mathfrak{cc}=\mathfrak{c}$ を用いた）。下からは、$A\subset (0,\infty )$ に対して
$$f_A(x)=\{\begin{array}{ll}-x& (|x|\in A)\\ x& (|x|\notin A)\end{array}$$
と定める。$f_A\circ f_A=\mathrm{id}$ なので $f_A$ は全単射である。また $a\in A\setminus B$ ならば $f_A(a)=-a\ne a=f_B(a)$ となるので、$A\mapsto f_A$ は単射である。$(0,\infty )$ は $\log$ により $\mathbb{R}$ と対等なので $|\mathcal{P}((0,\infty ))|=2^{\mathfrak{c}}$ となり、$2^{\mathfrak{c}}\le |X_5|$ が得られる。

まとめると、各集合の濃度は $3,{\aleph }_0,\mathfrak{c},\mathfrak{c},2^{\mathfrak{c}}$ である。

2. $|\mathrm{Map}(X_i,X_j)|=|X_j{|}^{|X_i|}$ の計算

カントールの定理より ${\aleph }_0<\mathfrak{c}<2^{\mathfrak{c}}<2^{2^{\mathfrak{c}}}$ である。

- $i=1$（指数 $3$）の場合：$3^3=27$、${\aleph }_0^3={\aleph }_0$、${\mathfrak{c}}^3=\mathfrak{c}$（$j=3,4$）、$(2^{\mathfrak{c}}{)}^3=2^{3\mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$ となる。$2^{\mathfrak{c}}$ になるのは $j=5$ の $1$ 個である。
- $i=2$（指数 ${\aleph }_0$）の場合：$\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}\le 3^{{\aleph }_0}\le {\aleph }_0^{{\aleph }_0}\le {\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0\cdot {\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ より、$j=1,2,3,4$ ではいずれも $\mathfrak{c}$ である。一方 $(2^{\mathfrak{c}}{)}^{{\aleph }_0}=2^{\mathfrak{c}{\aleph }_0}=2^{\mathfrak{c}}$ である。$2^{\mathfrak{c}}$ になるのは $j=5$ の $1$ 個である。
- $i=3,4$（指数 $\mathfrak{c}$）の場合：$|X_j|\ge 2$ であるから
$$2^{\mathfrak{c}}\le |X_j{|}^{\mathfrak{c}}\le (2^{\mathfrak{c}}{)}^{\mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}\cdot \mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$$
となる。よって $j=1,\dots ,5$ のすべてで $2^{\mathfrak{c}}$ となり、$i=3,4$ を合わせて $2\times 5=10$ 個である。
- $i=5$（指数 $2^{\mathfrak{c}}$）の場合：$|X_j{|}^{2^{\mathfrak{c}}}\ge 2^{2^{\mathfrak{c}}}>2^{\mathfrak{c}}$ なので、$0$ 個である。

以上より、求める個数は $1+1+10+0=12$ である。

各集合の濃度は次のとおり。$|X_1|=3$、$|X_2|={\aleph }_0$（整数係数多項式は可算個で、それぞれ実根は有限個）、$|X_3|=\mathfrak{c}$（開集合は可算個の開区間の和で表され、有理数端点の開区間の可算族の選び方は $2^{{\aleph }_0}$ 通り。また $\mathbb{R}$ の開区間が $\mathfrak{c}$ 個ある）、$|X_4|=\mathfrak{c}$（連続関数は有理数上の値で決まるので ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 以下で、定数関数があるので $\mathfrak{c}$ 以上）、$|X_5|=2^{\mathfrak{c}}$（$\mathbb{R}$ の置換全体は $2^{\mathfrak{c}}$ 以下。また、$\mathbb{R}$ を $\mathfrak{c}$ 個の互いに素な可算無限対 $\{a_{\alpha },b_{\alpha }\}$ の 2 元集合に分け、各対を入れ替えるか否かを選ぶと $2^{\mathfrak{c}}$ 個の異なる全単射が得られる）。

$|\mathrm{Map}(X_i,X_j)|=|X_j{|}^{|X_i|}$ を計算する。

• $i=1$（指数 3）：$j=1$ は $27$、$j=2$ は ${\aleph }_0$、$j=3,4$ は $\mathfrak{c}$、$j=5$ は $2^{\mathfrak{c}}$。該当は $j=5$ の 1 個。
• $i=2$（指数 ${\aleph }_0$）：$3^{{\aleph }_0}={\aleph }_0^{{\aleph }_0}={\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$、$(2^{\mathfrak{c}}{)}^{{\aleph }_0}=2^{\mathfrak{c}}$。該当は $j=5$ の 1 個。
• $i=3,4$（指数 $\mathfrak{c}$）：$3^{\mathfrak{c}}={\aleph }_0^{\mathfrak{c}}={\mathfrak{c}}^{\mathfrak{c}}=(2^{\mathfrak{c}}{)}^{\mathfrak{c}}=2^{\mathfrak{c}}$ なので、すべての $j$ で該当する。$5\times 2=10$ 個。
• $i=5$（指数 $2^{\mathfrak{c}}$）：底が 3 以上なので $|\mathrm{Map}|\ge 2^{2^{\mathfrak{c}}}>2^{\mathfrak{c}}$。該当は 0 個。

合計 $1+1+10+0=12$。