集合と位相の問題

${\aleph }_0$ を正の整数全体の集合の濃度とする。それぞれの集合の濃度を調べる。

$S_1$. 次数が $n$ 以下の有理数係数多項式全体は ${\mathbb{Q}}^{n+1}$ と $1$ 対 $1$ に対応し、${\mathbb{Q}}^{n+1}$ は可算である。$\mathbb{Q}[x]$ はこれらの $n=0,1,2,\dots$ にわたる和集合で、係数を既約分数で表して「次数と係数の分子・分母の絶対値の和」が一定のものは有限個なので、その値の小さい順に並べられる。よって $|S_1|={\aleph }_0$。

$S_2$. 実数列全体は ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ であり、基数の演算で
$$|S_2|=(2^{{\aleph }_0}{)}^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0\cdot {\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0}$$
となる（${\aleph }_0\cdot {\aleph }_0={\aleph }_0$ は正の整数の組 $(m,n)$ を並べられることからわかる）。

$S_3$. 定義から $|S_3|=2^{{\aleph }_0}$。（写像 $f$ に部分集合 $f^{-1}(1)$ を対応させれば、正の整数全体の冪集合と $1$ 対 $1$ に対応する。）

$S_4$. 有限部分集合 $F$ に $0$ 以上の整数 $\sum _{k\in F}{2}^{k-1}$ を対応させると、$2$ 進展開の一意性からこれは $0$ 以上の整数全体への全単射である。よって $|S_4|={\aleph }_0$。

$S_5$. 定数関数 $x\mapsto c$ を考えれば $2^{{\aleph }_0}\le |S_5|$。一方、連続関数は有理数上での値で決まる（各実数は有理数列の極限であり、連続性から値も極限で決まる）ので、$f\mapsto f{|}_{\mathbb{Q}}$ は $S_5$ から ${\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}$ への単射である。$|{\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}|=(2^{{\aleph }_0}{)}^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0}$ なので $|S_5|\le 2^{{\aleph }_0}$。ベルンシュタインの定理より $|S_5|=2^{{\aleph }_0}$。

$S_6$. $|S_6|=(2^{{\aleph }_0}{)}^{2^{{\aleph }_0}}\ge 2^{2^{{\aleph }_0}}$ であり、カントールの定理より $2^{2^{{\aleph }_0}}>2^{{\aleph }_0}$。よって $|S_6|\ne 2^{{\aleph }_0}$（実際 $|S_6|=2^{2^{{\aleph }_0}}$）。

$S_7$. 有理数係数の $0$ でない多項式は可算個（$S_1$）で、それぞれの根は次数以下の有限個である。多項式を $S_1$ の並べ方で並べ、各多項式の根を（例えば実部、次に虚部の小さい順に）並べれば代数的数をすべて並べられる。有理数はすべて代数的数なので無限集合であり、$|S_7|={\aleph }_0$。

$S_8$. 開円板は中心 $(a,b)$ と半径 $r$ で一意に決まるので、$S_8$ は $\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times (0,\infty )$ と $1$ 対 $1$ に対応する。$(0,\infty )$ は $\log$ により $\mathbb{R}$ と対等なので
$$|S_8|=2^{{\aleph }_0}\cdot 2^{{\aleph }_0}\cdot 2^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0+{\aleph }_0+{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0}.$$

以上より、濃度がちょうど $2^{{\aleph }_0}$ であるのは $S_2,S_3,S_5,S_8$ の $4$ 個である。

$S_1$: 次数ごとに ${\mathbb{Q}}^{n+1}$ は可算で、その可算和なので ${\aleph }_0$（有限でない）。濃度 $2^{{\aleph }_0}$ ではない。
$S_2$: ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ の濃度は $(2^{{\aleph }_0}{)}^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0\cdot {\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0}$。該当。
$S_3$: $\{0,1{\}}^{\mathbb{N}}$ は $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ と対等で $2^{{\aleph }_0}$。該当。
$S_4$: $\mathbb{N}$ の有限部分集合全体は、$n$ 元部分集合ごとに可算で、その可算和なので ${\aleph }_0$。該当しない。
$S_5$: 連続写像は $\mathbb{Q}$ 上の値で決まるので $|S_5|\le |{\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}|=(2^{{\aleph }_0}{)}^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0}$。また定数関数が $2^{{\aleph }_0}$ 個あるので $=2^{{\aleph }_0}$。該当。
$S_6$: $|{\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}|=(2^{{\aleph }_0}{)}^{2^{{\aleph }_0}}=2^{2^{{\aleph }_0}}>2^{{\aleph }_0}$（カントールの定理）。該当しない。
$S_7$: 係数が有理数の多項式全体が可算で、各多項式の根は有限個なので ${\aleph }_0$。該当しない。
$S_8$: $(a,b,r)\in {\mathbb{R}}^2\times (0,\infty )$ で円板が決まり、異なる $(a,b,r)$ は異なる円板を与える（中心と半径は円板から復元できる）。濃度は $2^{{\aleph }_0}$。該当。
該当するのは $S_2,S_3,S_5,S_8$ の 4 個。