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集合と位相の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学集合と位相

通常の距離 $d (x, y) = ∣ x - y ∣$ による位相を入れた実数直線 $R$ の部分集合として、次の $5$ つを考える。

$A_{1} = [0, 1] \cup {2}, A_{2} = {x \in R ∣ x^{2} - 3 x + 2 < 0},$
$A_{3} = {0} \cup {\frac{1}{n} n は正の整数}, A_{4} = {x \in R ∣ x^{3} - x ≧ 0},$
$A_{5} = {x \in R ∣ ∣2 x - 1∣ ≦ 3} .$

このうち、コンパクトであるものの番号 $k$ （ $A_{k}$ の添字）をすべて求めよ。

この問題で使うもの

コンパクト性の判定（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（63 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ハイネ・ボレルの定理（ $R$ では「有界閉集合 $⟺$ コンパクト」）を使います。各集合が有界か、閉集合かを調べましょう。

ヒント 2

不等式で定義された集合は、因数分解や絶対値の不等式を解いて区間の形に直します。 $A_{3}$ は、集積点 $0$ が集合に含まれているかどうかに注目します。

ヒント 3

$A_{2} = (1, 2)$ 、 $A_{4} = [- 1, 0] \cup [1, \infty)$ 、 $A_{5} = [- 1, 2]$ と書き直せます。 $A_{2}$ は端点 $1$ に収束する点列、 $A_{4}$ は点列 $x_{n} = n$ を考えると、コンパクトかどうかがわかります。

答えと解説

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{1, 3, 5}

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解説を読む

ハイネ・ボレルの定理により、 $R$ の部分集合がコンパクトであることと、その集合が有界かつ閉集合であることは同値です。そこで、各集合を区間などの形に書き直し、「有界か」「閉集合か」を順に確かめます。

$A_{1} = [0, 1] \cup {2}$
$A_{1} \subset [0, 2]$ なので有界です。閉区間 $[0, 1]$ と $1$ 点集合 ${2}$ はどちらも閉集合で、有限個の閉集合の和集合は閉集合です。したがって $A_{1}$ は有界閉集合なので、コンパクトです。

$A_{2}$
$x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2) < 0$ を解くと $1 < x < 2$ なので、 $A_{2} = (1, 2)$ です。 $A_{2}$ は有界ですが閉集合ではありません。
- 点列による確認： $x_{n} = 1 + \frac{1}{n + 1} \in A_{2}$ は $1$ に収束します。そのため、どの部分列も $1 \in / A_{2}$ に収束し、 $A_{2}$ の点に収束する部分列はありません。したがって $A_{2}$ は点列コンパクトではありません。
- 開被覆による確認： $U_{n} = (1 + \frac{1}{n}, 2)$ （ $n ≧ 2$ ）は $A_{2}$ を覆います。しかし有限個の $U_{n_{1}}, \dots, U_{n_{m}}$ の和は $(1 + \frac{1}{N}, 2)$ （ $N = max n_{i}$ ）であり、 $1 + \frac{1}{2 N} \in A_{2}$ を含みません。つまり有限部分被覆をもちません。

よって $A_{2}$ はコンパクトでないです。

$A_{3} = {0} \cup {1/ n}$
$A_{3} \subset [0, 1]$ なので有界です。 ${\frac{1}{n}}$ の集積点は $0$ だけで、 $0 \in A_{3}$ です。集積点をすべて含むので $A_{3}$ は閉集合です。よって有界閉集合であり、コンパクトです。

$A_{4}$
$x^{3} - x = x (x + 1) (x - 1) ≧ 0$ を符号の変化から解くと $- 1 ≦ x ≦ 0$ または $x ≧ 1$ なので、 $A_{4} = [- 1, 0] \cup [1, \infty)$ です。 $A_{4}$ は有界ではありません。
- 点列による確認： $x_{n} = n \in A_{4}$ のどの部分列も限りなく大きくなるので、収束する部分列はありません。
- 開被覆による確認： $V_{n} = (- n, n)$ （ $n$ は正の整数）は $A_{4}$ を覆います。しかし有限個の和は $(- N, N)$ となり、 $N \in A_{4}$ を含みません。

よって $A_{4}$ はコンパクトでないです。

$A_{5}$
$∣2 x - 1∣ ≦ 3$ より $- 3 ≦ 2 x - 1 ≦ 3$ 、すなわち $- 1 ≦ x ≦ 2$ なので、 $A_{5} = [- 1, 2]$ です。これは有界閉区間なので、コンパクトです。

以上より、コンパクトなのは $A_{1}, A_{3}, A_{5}$ で、求める番号の集合は ${1, 3, 5}$ です。

別解

$R$ の部分集合がコンパクトであることは、ハイネ・ボレルの定理により、有界閉集合であることと同値である。各集合を調べる。

$A_{1} = [0, 1] \cup {2}$ ：有界で、閉集合どうしの和なので閉。よってコンパクト。

$A_{2}$ ： $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2) < 0$ より $A_{2} = (1, 2)$ 。開区間なので閉でなく、コンパクトでない。

$A_{3} = {0} \cup {1/ n}$ ：有界。列 $1/ n$ の唯一の集積点は $0$ で、 $0 \in A_{3}$ なので閉。よってコンパクト。

$A_{4}$ ： $x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1) ≧ 0$ より $A_{4} = [- 1, 0] \cup [1, \infty)$ 。非有界なのでコンパクトでない。

$A_{5}$ ： $∣2 x - 1∣ ≦ 3$ より $- 1 ≦ x ≦ 2$ 。 $A_{5} = [- 1, 2]$ は有界閉区間なのでコンパクト。

確認： $A_{2}$ は点列 $1 + 1/ n$ が $1 \in / A_{2}$ に収束するので閉でない。 $A_{4}$ は点列 $n$ が有界でない。 $A_{1}, A_{3}, A_{5}$ は有界閉集合である。

答えは $k = 1, 3, 5$ 。

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