集合と位相の問題

正の整数 $m$ に対し $[m]=\{1,2,\dots ,m\}$ とし、$[0]=\varnothing$ とする。0 以上の整数 $m$ に対し、$[m]$ 上の同値関係の個数を $E(m)$ で表す（$\varnothing$ 上の同値関係は空関係ただ 1 つなので $E(0)=1$ である）。

集合 $S$ の分割とは、$S$ の空でない部分集合からなる集合族 $\mathcal{P}$ であって、$\mathcal{P}$ の相異なる 2 つの元は交わらず、$\mathcal{P}$ の元すべての和集合が $S$ になるものをいう（$\varnothing$ の分割は空集合族ただ 1 つである）。集合 $S$ 上の同値関係と $S$ の分割とは、同値関係にその同値類全体を対応させることで 1 対 1 に対応する。この事実は用いてよい。

任意の 0 以上の整数 $n$ に対して
$$E(n+1)=\sum _{j=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)E(j)$$
が成り立つことを証明せよ。

$X$ を空でない有限集合とする。$X$ 上の前順序とは、$X$ 上の二項関係 $⪯$ で、反射律（任意の $x$ で $x⪯x$）と推移律（$x⪯y$ かつ $y⪯z$ ならば $x⪯z$）を満たすものをいう（反対称律は要求しない）。$X$ 上の位相全体の集合を $\mathfrak{T}$、$X$ 上の前順序全体の集合を $\mathfrak{P}$ とする。

位相 $\mathcal{O}\in \mathfrak{T}$ と $y\in X$ に対し $U_y=\bigcap \{U\in \mathcal{O}:y\in U\}$ とおき、$X$ 上の関係 ${⪯}_{\mathcal{O}}$ を「$x{⪯}_{\mathcal{O}}y⟺x\in U_y$」で定める。

前順序 $⪯\in \mathfrak{P}$ に対し、$X$ の部分集合族 ${\mathcal{O}}_{⪯}$ を
$${\mathcal{O}}_{⪯}=\{U\subset X:y\in U\text{ かつ }x⪯y\text{ ならば }x\in U\}$$
で定める。

$\mathcal{O}\mapsto {⪯}_{\mathcal{O}}$ は $\mathfrak{T}$ から $\mathfrak{P}$ への全単射であり、その逆写像は $⪯\mapsto {\mathcal{O}}_{⪯}$ であることを証明せよ。

集合 $X=\{1,2,3,4,5\}$ 上の位相 $\mathcal{O}$ のうち、開集合の個数がちょうど $4$ であるもの（すなわち $\mathcal{O}$ がちょうど $4$ 個の $X$ の部分集合からなるもの）の個数を求めよ。

ただし、$X$ の部分集合族 $\mathcal{O}$ が $X$ 上の位相であるとは、$\varnothing \in \mathcal{O}$、$X\in \mathcal{O}$ であり、$\mathcal{O}$ が有限個の共通部分と任意個の和集合について閉じていることをいう。異なる部分集合族は異なる位相として数える。

閉区間 $[0,2]$ 上の実数値連続関数全体の集合 $C[0,2]$ に、距離
$$d(f,g)={\int }_0^2|f(x)-g(x)|dx$$
を入れた距離空間を考える。その部分集合
$$X=\left\{f\in C[0,2]|\text{すべての }x,y\in [0,2]\text{ に対して }|f(x)-f(y)|\le 3|x-y|,{\int }_0^{2}f(x)dx=0\right\}$$
の直径
$$\mathrm{diam}X=\underset{f,g\in X}{\sup }d(f,g)$$
を求めよ。

平面 ${\mathbb{R}}^2$ 上の関数 $d:{\mathbb{R}}^2\times {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ を、$p=(x_1,y_1)$, $q=(x_2,y_2)$ に対して
$$d(p,q)=\{\begin{array}{ll}|y_1-y_2|& (x_1=x_2)\\ |y_1|+|x_1-x_2|+|y_2|& (x_1\ne x_2)\end{array}$$
で定める。$d$ は ${\mathbb{R}}^2$ 上の距離である（$x$ 軸を「川」とみなし、異なる縦の線の間を移動するには一度 $x$ 軸まで戻る必要がある、という距離である）。

楕円板
$$E=\left\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|\frac{x^2}{4}+y^2\le 1\right\}$$
の、距離 $d$ に関する直径
$${\mathrm{diam}}_{d}E=\sup \{d(p,q)\mid p,q\in E\}$$
を求めよ。