集合と位相の問題

次の 4 つを順に示す。(a) ${⪯}_{\mathcal{O}}$ は前順序である。(b) ${\mathcal{O}}_{⪯}$ は位相である。(c) ${\mathcal{O}}_{{⪯}_{\mathcal{O}}}=\mathcal{O}$。(d) ${⪯}_{{\mathcal{O}}_{⪯}}=⪯$。(a), (b) により 2 つの写像 $F:\mathfrak{T}\to \mathfrak{P}$, $F(\mathcal{O})={⪯}_{\mathcal{O}}$ と $G:\mathfrak{P}\to \mathfrak{T}$, $G(⪯)={\mathcal{O}}_{⪯}$ が定義され、(c), (d) により $G\circ F={\mathrm{id}}_{\mathfrak{T}}$, $F\circ G={\mathrm{id}}_{\mathfrak{P}}$ となるので、$F$ は全単射で $G$ がその逆写像である。

準備: $U_y$ は $y$ を含む最小の開集合である. $\mathcal{O}$ を $X$ 上の位相とする。$X$ は有限集合なので、その部分集合族 $\mathcal{O}$ も有限集合である。$X\in \mathcal{O}$ かつ $y\in X$ なので、$U_y$ を定める族 $\{U\in \mathcal{O}:y\in U\}$ は空でない有限族であり、開集合の有限個の共通部分は開集合なので $U_y\in \mathcal{O}$。また $y$ はこの族のすべての元に属するので $y\in U_y$。さらに $V\in \mathcal{O}$ かつ $y\in V$ ならば $V$ はこの族の元なので $U_y\subset V$。

(a) ${⪯}_{\mathcal{O}}$ は前順序. 反射律: 準備より $x\in U_x$ なので $x{⪯}_{\mathcal{O}}x$。推移律: $x{⪯}_{\mathcal{O}}y$, $y{⪯}_{\mathcal{O}}z$ とすると $x\in U_y$, $y\in U_z$。$U_z$ は $y$ を含む開集合なので、準備より $U_y\subset U_z$。よって $x\in U_z$、すなわち $x{⪯}_{\mathcal{O}}z$。

(b) ${\mathcal{O}}_{⪯}$ は位相. ${\mathcal{O}}_{⪯}$ の元を「下に閉じた集合」と呼ぶ。$\varnothing$ は $y\in \varnothing$ となる $y$ がないので条件を満たし、$X$ は $x\in X$ が常に成り立つので条件を満たす。$\{U_{\lambda }{\}}_{\lambda \in \Lambda }$ を下に閉じた集合の任意の族とする。$y\in {\bigcup }_{\lambda }{U}_{\lambda }$, $x⪯y$ ならば、ある $\lambda$ で $y\in U_{\lambda }$ なので $x\in U_{\lambda }\subset {\bigcup }_{\lambda }{U}_{\lambda }$。$y\in {\bigcap }_{\lambda }{U}_{\lambda }$, $x⪯y$ ならば、すべての $\lambda$ で $y\in U_{\lambda }$ なので $x\in U_{\lambda }$、よって $x\in {\bigcap }_{\lambda }{U}_{\lambda }$。したがって和集合も共通部分（特に有限個の共通部分）も下に閉じており、${\mathcal{O}}_{⪯}$ は位相である。

(c) ${\mathcal{O}}_{{⪯}_{\mathcal{O}}}=\mathcal{O}$.
- $\mathcal{O}\subset {\mathcal{O}}_{{⪯}_{\mathcal{O}}}$: $U\in \mathcal{O}$, $y\in U$, $x{⪯}_{\mathcal{O}}y$ とする。$U$ は $y$ を含む開集合なので準備より $U_y\subset U$、また $x\in U_y$ なので $x\in U$。よって $U$ は ${⪯}_{\mathcal{O}}$ について下に閉じている。
- ${\mathcal{O}}_{{⪯}_{\mathcal{O}}}\subset \mathcal{O}$: $U$ が ${⪯}_{\mathcal{O}}$ について下に閉じているとする。$y\in U$ に対し、$x\in U_y$ ならば $x{⪯}_{\mathcal{O}}y$ なので $x\in U$、すなわち $U_y\subset U$。また $y\in U_y$。よって $U={\bigcup }_{y\in U}{U}_y$ であり（$U=\varnothing$ なら空な和集合で $\varnothing \in \mathcal{O}$）、各 $U_y$ は準備より開集合なので $U\in \mathcal{O}$。

(d) ${⪯}_{{\mathcal{O}}_{⪯}}=⪯$. 位相 ${\mathcal{O}}_{⪯}$ に関する $U_y$ を計算する。$D_y=\{x\in X:x⪯y\}$ とおく。$D_y$ は下に閉じている（$z\in D_y$, $x⪯z$ ならば $x⪯z⪯y$ と推移律から $x\in D_y$）ので $D_y\in {\mathcal{O}}_{⪯}$ であり、反射律から $y\in D_y$。よって $U_y\subset D_y$。逆に $V\in {\mathcal{O}}_{⪯}$, $y\in V$ ならば、$x\in D_y$ について $x⪯y$, $y\in V$ なので $x\in V$、すなわち $D_y\subset V$。これがすべてのそのような $V$ について成り立つので $D_y\subset U_y$。したがって $U_y=D_y$ であり、
$$x{⪯}_{{\mathcal{O}}_{⪯}}y⟺x\in U_y=D_y⟺x⪯y.$$

以上 (a)〜(d) より、$\mathcal{O}\mapsto {⪯}_{\mathcal{O}}$ は $\mathfrak{T}$ から $\mathfrak{P}$ への全単射であり、その逆写像は $⪯\mapsto {\mathcal{O}}_{⪯}$ である。$■$