数理論理学・集合論の問題

上界と下界を別々に作り、ベルンシュタインの定理で濃度を決める。

下界（単射を作る）. 実数 $a$ に定数関数 $f_a(x)=a$ を対応させる。定数関数は広義単調増加なので $f_a\in M$ であり、$a\ne b$ なら $f_a\ne f_b$ である。よって $a\mapsto f_a$ は $\mathbb{R}$ から $M$ への単射で、$|M|\geqq \mathfrak{c}$。

上界（元を決めるデータを数える）. $f\in M$ の不連続点全体を $D_f$ とする。単調関数の各不連続点 $x$ では ${\lim }_{t\to x-0}f(t)<{\lim }_{t\to x+0}f(t)$ であり、この開区間に有理数を 1 つ選ぶと、異なる不連続点には異なる有理数が対応する（区間どうしが重ならないため）。よって $D_f$ は可算集合である。

また $f$ が連続な点 $x$ では、$x$ に収束する有理数列 $q_n$ をとると $f(x)={\lim }_{n\to \infty }f(q_n)$ となる。したがって $f$ は
$$\left(f{|}_{\mathbb{Q}},\{(x,f(x))\mid x\in D_f\}\right)$$
というデータで決まる。つまり $f$ にこの組を対応させる写像は単射である。

• 第 1 成分 $f{|}_{\mathbb{Q}}$ は ${\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}$ の元で、$|{\mathbb{R}}^{\mathbb{Q}}|={\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$。
• 第 2 成分は ${\mathbb{R}}^2$ の可算部分集合である。空でない可算部分集合は ${\mathbb{R}}^2$ の点列の像として表せるので、その個数は点列全体の個数 ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 以下で、空集合を加えても $\mathfrak{c}$ 以下。

よって $|M|\leqq \mathfrak{c}\cdot \mathfrak{c}=\mathfrak{c}$。

結論. $\mathfrak{c}\leqq |M|\leqq \mathfrak{c}$ なので、ベルンシュタインの定理より $|M|=\mathfrak{c}$。答えは イ。

$|M|=\mathfrak{c}$ を示す。

(下からの評価) 定数関数 $f_c(x)=c$（$c\in \mathbb{R}$）はすべて広義単調増加で、$c\mapsto f_c$ は単射。よって $|M|\geqq \mathfrak{c}$。

(上からの評価) $f\in M$ とする。単調関数の不連続点は高々可算個である（各不連続点 $a$ に、開区間 $(f(a-),f(a+))$（空でない）を対応させると、これらは互いに交わらず、各々が有理数を含むので高々可算）。
$f$ は次のデータで決まる。
(1) 有理数全体 $\mathbb{Q}$ での値 $f{|}_{\mathbb{Q}}$。
(2) 不連続点の集合 $D$（高々可算）と、各 $a\in D$ での値 $f(a)\in [f(a-),f(a+)]$。
実際、$a\notin D$ なら $f$ は $a$ で連続なので $f(a)={\lim }_{q\to a,q\in \mathbb{Q}}f(q)$ と $\mathbb{Q}$ での値から決まる。$a\in D$ の値は (2) で与えられる。
(1) の個数は ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ 以下。(2) は、$\mathbb{R}$ の高々可算部分集合の個数が ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$、その各元に実数を対応させる写像の個数が ${\mathfrak{c}}^{{\aleph }_0}=\mathfrak{c}$ なので $\mathfrak{c}$ 以下。したがって $|M|\leqq \mathfrak{c}\cdot \mathfrak{c}=\mathfrak{c}$。

ベルンシュタインの定理より $|M|=\mathfrak{c}$。

選択肢の確認: ア (${\aleph }_0$) は $\mathfrak{c}$ 個の定数関数があるので誤り。イ ($\mathfrak{c}$) は正しい。ウ ($2^{\mathfrak{c}}$) は $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 全体の濃度であり、上の評価 $|M|\leqq \mathfrak{c}$ と $\mathfrak{c}<2^{\mathfrak{c}}$（カントール）に反するので誤り。

答えはイ。