数理論理学・集合論の問題

順序数の和・積を、整列集合の並べ方として具体的に書き、$\omega$ と同じ形（最大元をもたず、どの元より前にも有限個の元しかない）かどうかを調べる。

ア. $2+\omega$ は、2 つの元 $a_0<a_1$ の後ろに $0<1<2<\cdots$ を並べたもの
$$a_0<a_1<0<1<2<\cdots$$
である。左から順に $0,1,2,3,\dots$ と番号を付け直すと（$a_0\mapsto 0,a_1\mapsto 1,n\mapsto n+2$）、順序を保つ全単射で $\omega$ と重なる。よって $2+\omega =\omega$ で、正しい。

イ. $\omega +2$ は
$$0<1<2<\cdots <b_0<b_1$$
である。この整列集合には最大元 $b_1$ があるが、$\omega$ には最大元がない。順序同型なら最大元の有無は一致するので、$\omega +2\ne \omega$ で、誤り（実際 $\omega <\omega +1<\omega +2$）。

ウ. $3\cdot \omega$ は、3 つの元からなる列 $\bullet <\bullet <\bullet$ を $\omega$ 回並べたもの
$$(0,0)<(1,0)<(2,0)<(0,1)<(1,1)<(2,1)<(0,2)<\cdots$$
である（$(i,n)$ は $n$ 番目のブロックの $i$ 番目の元）。$(i,n)\mapsto 3n+i$ と番号を付けると、順序を保つ全単射で $\omega$ と重なる。よって $3\cdot \omega =\omega$ で、正しい。

エ. $\omega \cdot 3$ は、$\omega$ を 3 回並べたもの
$$0<1<2<\cdots <0^{\prime }<1^{\prime }<2^{\prime }<\cdots <0^{\prime \prime }<1^{\prime \prime }<\cdots$$
で、これは $\omega +\omega +\omega$ である。元 $0^{\prime }$ の前には無限個の元 $0,1,2,\dots$ があるが、$\omega$ ではどの元の前にも有限個の元しかない。よって $\omega \cdot 3\ne \omega$ で、誤り。

以上より、正しいものは ア, ウ である。和・積は可換でなく、$2+\omega \ne \omega +2$、$3\cdot \omega \ne \omega \cdot 3$ となっている。

問題文の定義（$\alpha \cdot \beta$ は $\alpha$ を $\beta$ 回並べたもの）に従って各選択肢を確かめる。

ア. $2+\omega$ は $\{a_0<a_1\}$ の後ろに $0<1<2<\dots$ を並べた順序で、全体は $a_0<a_1<0<1<2<\dots$ となる。最小元から順に番号を付ければ $0,1,2,3,\dots$ と対応し、順序型は $\omega$。よって $2+\omega =\omega$ は正しい。

イ. $\omega +2$ は $0<1<2<\cdots <b_0<b_1$ であり、$b_0$ は無限個の元の上限として最大元の一つ手前に位置する。$\omega$ には最大元がないが、$\omega +2$ には最大元 $b_1$ がある。順序同型は最大元の有無を保つので $\omega +2\ne \omega$。誤り。

ウ. $3\cdot \omega$ は 3 点からなる順序 $\{0,1,2\}$ を $\omega$ 回（$\omega$ の順に）並べたもの。すなわち $(0,0)<(1,0)<(2,0)<(0,1)<(1,1)<(2,1)<\dots$ で、全体は 0,1,2,3,... と対応する順序型 $\omega$。よって $3\cdot \omega =\omega$ は正しい。

エ. $\omega \cdot 3=\omega +\omega +\omega$ は $\omega$ を 3 回並べたもので、最大元をもたない整列集合だが、$\omega$ の元の上限として極限点を 2 つ（第 2 の $\omega$ の最小元と第 3 の $\omega$ の最小元）よりも前の位置にもつ。実際、$\omega \cdot 3$ には極限順序数に当たる元（先行元をもたない元で最小元以外）が 2 つあるが、$\omega$ には最小元以外にそのような元がない。したがって $\omega \cdot 3\ne \omega$（実際 $\omega <\omega \cdot 3$）。誤り。

検算: 順序数の和は非可換で、$2+\omega =\omega \ne \omega +2$、積も非可換で $3\cdot \omega =\omega \ne \omega \cdot 3$ という標準的な事実と一致する。

以上より正しいのはア、ウ。